指数分布I型截尾简单步进应力下带随机移走的优化设计

张鹏 刘平清

【摘要】在寿命分布为指数分布下，对I型截尾带有随机移走的试验施加简单步进应力，采用最大似然估计对不同应力的参数进行估计，以应力变化时间点为优化变量，正常应力下寿命参数估计的渐近方差最小为优化目标，找到最优的应力变化点。最后，以一模拟数据建模进行数据分析。

【关键词】加速寿命；指数分布；I型截尾；随机移走；简单步进；渐近方差

1、前言

随着科技的进步，产品的寿命有了极大提高，传统寿命试验显得力不从心，在此背景下，加速寿命试验应运而生，并且越来越受到人们的关注。

国内外许多学者对加速寿命试验进行了研究。茆诗松[1]等对多种分布下的加速寿命试验做了许多工作，陈循[2]等在相关的数据仿真模拟上有相当的研究；S.adia Anwar[3]在恒定应力加速上对寿命参数做区间估计。

在实际情况中，由于试验产品可能出现危险，或者由于试验经费的削减，经常需要在试验中将部分还没有失效的产品移走；在相关领域的研究中，杨春燕[4]等研究了随机移走服从二项分布的情况。

本文在寿命分布为指数分布情况下，采用I型截尾，其试验时间设为T，并以简单步进应力（分别为：s1，s2）为试验条件；假设随机移走发生在产品失效时刻，第i次失效时刻移走个试验产品，而且随机移走数服从二项分布B（ni，p）。在此状况下对分布的参数采用极大似然估计，并且利用Fisher信息矩阵估计正常状况（应力水平为：S0）下寿命参数的渐近方差AV（θ0），当渐近方差最小时即为最优应力转变时间τ，在此估计得到的正常寿命参数就更可靠。

2、模型建立及分析

2.1、模型假设

假设一：产品的寿命分布服从指数分布；

类似文献[5]给出累积分

布函数为：

在试验中试验前已定si，θi通过似然函数进行估计。

假设三：试验开始时试验样本总数为n，在应力水平si下失效产品个数为mi，且m=m1+m2；每次失效时刻ti随机移走数ri独立同分布，且服从概率一定的（设为P）的二项分布；即有，一旦试验结束，便确定。

假设四：试验过程采用连续观测；

2.2、最优设计分析

根据对试验过程的分析，可以得到似然函数为：

然后通过软件模拟找到使（20）达到最小的τ值，则在此τ值下估计的正常使用状况下的寿命分布参数θ0最优。

3、实例计算分析

下面用模拟的数据求取正常应力水平下的寿命参数最优数值解。首先，给定定时截尾时间为T=1900h，利用R软件生成随机数模拟寿命可得寿命数据为：（单位：h）

然后再用R模拟生成随机移走的数据：（单位：个）

再利用2.2节的理论公式，用R3.2.0编程序可以得到不同τ（为减少软件循环次数，这里τ取正整数）值（20）式的值，通过软件可以找到全局最优解τ=1635h时，最小值，且最小值为，同时由软件输出最可靠的θ0的估计值为：；由此可知该产品在正常状态下使用的平均寿命约为8820h。同时，由模拟的参数可以求出在该数据下实际平均寿命为9000h，可见该估计的精确度还是较高的。

参考文献

[1]茆诗松，汤银才，王玲玲.可靠性估计[M].高等教育出版社，2008.10P259-P324.

[2]陈循，张春华，汪亚顺.加速寿命试验技术与应用[M].国防工业出版社，2013，P130-P200.

[3]Sadia Anwar，Arif UI Islam.ESTIMATION AND OPTIMAL DESIGN OF CONSTANT STRESS PARTIALLY ACCELERATED LIFE TEST FOR GOMPERTZ DISTRIBUTION WITH TYPE I CENSORING.[J].RT&A#04（35）.（Vol.9）2014，December.

[4]SIU KEUNG TSE，CHUNYAN YANG，HAK-KEUNG YUEN.Statistical analysis of Weibull distributed lifetime data under Type II progressive censoring with binomial removals.[J].Fournal of Applied Statistics，VOL.27，No.8，2000，1033-1043.

[5]李新翼，郑海鹰.广义指数分布场合下简单步进应力加速寿命试验的最优设计[J].温州大学学报.自然科学版.2013年11月，第34卷第4期.

[6]Jin Zhang.Mathematical Statistics，科学出版社.[M].2013年7月.P13-P150

作者简介

张鹏（1989-），男，汉族，湖北利川人，碩士研究生，研究方向：概率论与数理统计；

刘平清（1993-），女，汉族，云南昭通人，硕士研究生，研究方向：概率论与数理统计。