由一道例题引发的思考

◇吴云飞

由一道例题引发的思考

◇吴云飞

人教版教材四年级下册第10页有这样一道例题（如图1），其解决方法如图2所示。

图1

图2

新教材把它作为问题解决内容放在四则运算后面，其主要原因可能有两点：一是让学生运用四则运算法则解决问题，提高其计算能力和解决问题的能力；二是渗透优化思想，培养学生合理、灵活思考问题的能力。学完以后，学生能够想到的基本就是“尽量坐人均价格低的”和“尽量坐满”这两个条件。当然，这两个条件是至关重要的，这是统筹、优化思想的主要体现，在这方面学生已经在四年级上册的“烙饼问题”和“统筹安排”中研究过。

再看另一个“租船问题”（如图3）。

图3

考虑“尽量坐人均价格低的”和“尽量坐满”这两个条件，用2辆大客车和3辆小客车应该最省钱。实际情况是这样吗？该用什么方法解决呢？

在三年级教材上册中出现了这样一道例题（如图4）。

图4

这道例题其实就是“租船问题”的前身，其解决方法是列表法。

受此启发，可以考虑用列表法解决图3中的问题。

大客车每个座位25元，小客车每个座位30元。

（150+5）÷40=3（辆）……35（人），3+1=4（辆）。

表1

显然这里正好坐满并不是最省钱的，像这样的题目和生活例子还有很多。如果按照图2所示的方法解决这个问题，就很容易陷入“最好的方法是同时满足两个条件”的误区，从而出现遗漏“4 大0小”的情况。

为什么会出现这样的矛盾呢？笔者认为，它跟实际的“人均价格”有着紧密的联系。例如，75人打算租车去旅游，有图3所示问题中的两种客车可供选择，这时，选择2辆大客车，有空位，实际的“人均价格”为2000÷75≈27（元）；选择3辆小客车，没有空位，实际的“人均价格”为2250÷75=30（元）。显然，用2辆大客车更省钱。也就是说，有时即使“用大客车会出现空位”，其实际的“人均价格”也会比“用小客车没空位或空位较少”要低。如果总共有145人，租3辆大客车和1辆小客车正好坐满，这是最省钱的租车方案。这里面似乎有一个“临界点”，笔者试图找到这个“临界点”。现固定图3所示问题中车辆的收费标准和载客量，试着探讨一下。

表2

分析表2中加粗的数据，发现它们无外乎以下几类：“小客车载客量的整数倍+1（如26、51等）”“大客车、小客车载客量的整数倍的和+1（如66、91等）”和“大客车载客量的整数倍+1（如41、81等）”。这似乎就是“临界点”。是否所有的“租船问题”都有类似的“临界点”呢？现固定图1所示问题中船只的收费标准和载客量，探讨该问题中是否存在类似的“临界点”。经验证，确实存在类似的“临界点”。当然，即使一个结论在许多情况下都成立，也不能说明该结论在所有情况下都成立，但这是探索的开始，是一个方向，从特殊到一般也是研究数学问题的一种重要方法，所以值得尝试。这个结论有待大家一同验证。

当然，学生不需要理解这么深。但是，对于“租船问题”，也绝非仅知道上面提及的“两个条件”就可以了。笔者认为，用列表法解决“租船问题”，在不失上述能力培养的同时，能更好地体现思维的严密性。那么列表法是如何体现思维严密性的呢？可以先从实际的“人均价格最低”入手，这就遵循了统筹、优化思想的第一原则，再考虑座位数，就可以达到策略最优化的目标了。解决问题的方法很多，但是作为教师，要熟知不同方法的不同价值，这样才能发挥每种方法的最大作用，其实这也是统筹、优化思想的体现。

（作者单位：浙江海盐县向阳小学）