一道几何证明题的思路剖析

沈岳夫

摘 要：几何问题的研究离不开对数学模型的抽象和提炼.数学模型好比是解决一个数学问题的方法和手段，数学模型掌握得越多，解决数学问题的方法和途径就越丰富.一题多解的探寻，既能帮助学生快速而系统地抽象出各类数学模型并熟练掌握，又能拓宽学生的思路，培养学生思维的发散性和融合性，帮助学生提炼解决此类题型的解题通法.

关键词：思路剖析；一题多解；思维突破；通性通法

对试题的研究是教师在教学和复习中经常做的一件事，通过研究把蕴含其中的数学思想方法揭露出来，挖掘出问题的本质属性.这样可以提高学生的空间想象、逻辑思维能力，分析和解决问题的思维技能，优化数学的思维品质，而且还可以培养学生探索创新的能力.下面，笔者通过实例进行探讨.

三、解题反思

（一）关注解题通法 增强学生的解题能力

优秀的几何题一般存在多种解法，而辅助线通常是解决问题的桥梁.巧妙的辅助线常能“柳暗花明又一村”，与标准答案不同的上述几种解法，其巧妙之处在于添加了辅助线，辅助线使未知与已知有了更紧密的联系，无须通过证明3次相似，证明过程大为简洁，体现了数学方法的多样性.同时也从侧面说明这是一道难得的好题，是训练学生数学思维的好素材.由此可见，通过一题多解，可以加深和巩固学生所学知识，充分运用学过的知识，从不同的角度思考问题，采用多种方法解决问题，这有利于学生加深理解各部分知识横向和纵向的内在联系，掌握各部分知识的转化关系，从而达到培养思维广阔性的目的.

（二）重视学会解题 拓展学生的思维空间

在解题教学中，题目是载体，解题是过程，方法和规律的揭示、策略和思想的形成是目的，因此，解题教学切忌就题论题，片面追求容量，忽视教学功能的发掘与开发.引导学生学会解题层面的回顾与反思：如解题中用到了哪些知识？解题中用到了哪些方法？这些知识和方法是怎样联系起来的？自己是怎么想到它们的？困难在哪里？关键是什么？遇到什么障碍？后来是怎么解决的？是否还有别的解决方法、更一般的方法或更特殊的方法、沟通其他学科的方法、更简单的方法？这些方法体现了什么样的数学思想？调动这些知识和方法体现了什么样的解题策略？

（三）关注模型思想 强化学生的识模能力

拿到一道试题，在理解题意后，立即思考：问题属于哪一主题、哪一章节？与这一章节的哪个类型的问题比较接近？解决这个类型的问题有哪些方法？哪个方法可以首先拿来试用？这一想，下手的地方就有了，前进的方向也大体确定了，这就是解题中的模式识别.运用模式识别可以简洁回答解题中的两个基本问题：从何处下手？向何方前进？我们说就从辨认题型模式入手，向着提取相应方法、使用相应方法解题的方向前进.正如本文中所提到的构造“A字型”“8字型” 等基本模型，因此在平时的教学中，教师要引导学生从习题中提炼出常用的基本模型，再推广模型，并通过典型问题帮助学生识模、用模，从而强化学生对基本模型的理解.