数学教学中一题多解的本质

摇杨刚

培养和发展学生的数学思维能力是发展智力，全面培养数学能力的主要途径。因此，中学数学课程应该注重提高学生的数学思维能力，这也是数学教育的基本目标之一。

数学是思维的体现，解决问题是学生学习数学的目的，因而如何通过解题活动来培养学生良好的思维能力，应是数学教学的中心问题。但过多过密盲目的解题，不仅不会促进思维能力的发展、技能的形成，反而易使学生疲劳，兴趣降低，窒息学生的智慧，只有“闻一以知十”题解，才能激发学生浓厚的学习兴趣，促进他们思维品质的发展，而一题多解无疑是激发学生兴趣，开拓思路，培养思维品质和应变能力的一种十分有效的方法。下面就本人在教学中的体会谈谈“一题多解”在数学教学中的作用。

在初三的数学复习中，我们常常采用一题多解来培养学生的发散思维、创新能力，构建知识的网络，整合知识。

建构主义认为，知识是学生在已有经验基础上的建构。每个人的知识基础是不一样的，建构的方法可能就不一样，从而为一题多解提供了可能性。

初三的学生经过三年的学习，初中阶段的数学内容已基本掌握了，知识内容丰富，也为一题多解提供了可能性。

在复习相似三角形一节中，有这样一道题：如图，有一块直角三角形的铁皮余料，它的直角边BC为4cm，AC为3cm，若利用余料中现成的直角，从中裁出一个面积尽可能大的正方形来，则这个正方形的边长为多少？

由于教师在上课时已复习过相似三角形的知识，学生受思维定式的影响，多数采用相似三角形来解。即可证：△BEF∽△FDA，得，设正方形边长为x，则有BE=4-x，AD=3-x，即，解之得x=。

认知心理学家将问题解决过程看作是对问题空间（problem space）的搜索过程。问题空间是问题解决者对一个问题所达到的全部认识状态。人在解题过程中，要利用各种算子改变问题的起始状态，经过各种中间状态，逐步达到目标状态，从而解决问题。问题解决的本质是对问题空间的搜索，以找到一条从问题的起始状态达到目标状态的通路。其认知过程分别为：问题表征、模式识别、解题迁移、解题监控。问题表征指形成问题空间，包括明确问题的初始状态、目标状态及允许的操作。模式识别是指当主体接触到数学问题之后，能将该问题归类，使得与自己认知结构中的某种数学模式相匹配的过程。先前的解题学习对后继的解题学习的影响，即为解题迁移。解题监控指解题者为了达到解题目标，在解题过程中对解题活动作为意识对象，对其进行积极主动的计划、监视、调节和监控的过程。学生的认知不同，模式识别也就可能不同。

由于学生的个人差异性，注意的选择性，有的学生注意到题目中的平行线，将其识别为利用平行线的性质，进行解题迁移。于是有第二种方法：注意到整个三角形被分为三个规则的图形，学生可能将其识别为面积的不变性，将其迁移到利用面积来解决。S△ADF+S？荀DCEF+S△BEF=S△ABC

注意到直角，有的学生会识别为直角坐标系，从而建立如图所示坐标系：

AB的直线方程为：y=x+4

CF的直线方程为：y=-x

可求得点F的坐标为所以正方形的边长为。

同样是注意到直角，也有的学生识别为三角函数，可采用：在Rt△BEF中和Rt△BCA中，

tanB=即：得x=。

从以上可以看出，由于学生问题表征、模式识别的不同，解题迁移的方向不一样，形成了多种不同的思路。最后能否成功解决问题，还需要个人进行解题监控。

数学是一门演绎科学，“数学的命题、概念和理论并不是互不相关的，而是表现出了重要的相互联系，或者说，即是构成了整体性的“概念网络”。正是这样一种相互联系，使我们条条道路通罗马，同时激活了多种概念，这正是数学复习所需要达到的效果。