双分数随机利率下缺口期权定价模型

金宇寰,薛　红,冯进钤

(西安工程大学 理学院,陕西 西安 710048)



双分数随机利率下缺口期权定价模型

金宇寰,薛红,冯进钤

(西安工程大学 理学院,陕西 西安 710048)

摘要:为了刻画金融资产的长期记忆性,消除分数布朗运动市场中的金融套利,采用双分数布朗运动刻画缺口期权标的资产价格变化的行为模式.假定股票价格遵循双分数布朗运动驱动的随机微分方程,利率满足由双分数布朗运动驱动的 Vasicek 模型,利用双分数布朗运动随机分析理论和保险精算方法,建立双分数随机利率下金融市场数学模型,得到双分数随机利率下的缺口期权定价公式,对分数布朗运动环境下缺口期权定价公式进行了推广．

关键词:双分数布朗运动;缺口期权;随机利率;保险精算

0引言

近年来,作为一种防范金融风险或投机的有效手段,期权理论得到迅速发展．按其赋予的权利不同,期权可分为看涨期权和看跌期权．按其执行时间不同,可分为欧式期权和美式期权．除了标准欧式和美式看涨、看跌期权外,还有很多不同的复杂的新型期权,缺口期权就是其中的一种．欧式缺口期权是一种奇异期权,其特点是到期收益不是与执行价格比较,而是与缺口比较．文献[1]建立了分数布朗运动环境下金融市场数学模型,得到了缺口期权定价公式.文献[2]在几何布朗运动环境下利用风险中性估值原理,给出了缺口期权定价公式．文献[3]利用偏微分方程方法给出了欧式缺口看涨期权和看跌期权的定价公式．文献[4]在标的股票价格服从几何分数布朗运动的假设下,在风险中性概率测度下,得到欧式缺口期权的定价公式．双分数布朗运动[5-8]是一种比分数布朗运动更为广泛的高斯过程,不仅具有自相似性和长期记忆性,而且在一定限制条件下是一个半鞅,因此可应用于金融领域.Mogen Bladt等于1998年首次提出期权定价的保险精算方法[9],此方法在一定程度克服了Black-Scholes模型假设严格、公式推导较为繁琐的不足,同时其适用于有套利、非均衡、不完备的市场.文献[10]利用分数跳-扩散过程理论以及保险精算方法,获得了创新重置看涨期权定价公式.文献[11]利用保险精算思想,通过公平保费原理推导出欧式看涨期权和幂型支付的欧式看涨期权的定价公式．关于保险精算的概念及其在期权定价中的应用参见文献[12-14],本文结合双分数布朗运动的随机分析理论，并利用保险精算方法探讨双分数随机利率下缺口期权定价问题及其定价公式．

1缺口期权定价公式

定理1欧式缺口看涨期权在0时刻的保险精算价格

(1)

其中Φ(x)为标准正态分布函数,且

D1=σ2δ2T2HK, D2=σ2(1-δ2)T2HK,

注1当K=1时,可得分数随机利率下缺口期权定价公式(见文献[1]).

注3当X=G,K=1时,可得分数随机利率下欧式期权定价公式(见文献[15]).

2相关引理及定义

为证明定理1,首先给出相关引理及定义.

其中H∈(0,1), K∈(0,2).

当K=1时,双分数布朗运动退化为分数布朗运动,当K=1, H=1/2时,双分数布朗运动退化为标准布朗运动．

假定股票价格S(t)和利率r(t)分别满足

(2)

(3)

则wick-Ito公式的积分形式为

(4)

同时wick-Ito公式的微分形式为

(5)

引理2随机微分方程(2)的解为

(6)

引理3随机微分方程(3)的解为

(7)

则

从而可得结果．

引理4[16]假定a,b,c,d,k为实数,且

ξ1～N(0,1),ξ2～N(0,1),cov(ξ1,ξ2)=ρ,

则

其中Φ(x)为标准正态分布函数．

引理5[16]假定a,b,c,k为实数,且ξ1,ξ2,ξ3服从标准正态分布,有

cov(ξ1,ξ3)=ρ,cov(ξ1,ξ2)=0,cov(ξ2,ξ3)=0,

则

其中Φ(x)为标准正态分布函数．

定义2[17]股票价格{S(t),t≥0}在[0,t]上的期望回报率β(u)定义为

引理6股票价格{S(t),t≥0}在[0,t]上的期望回报率

β(u)=μ(u),u∈[0,t].

证明由引理2可知

又因为

所以

从而可得结果．

定义3[2]欧式缺口看涨期权到期日的价值为

(8)

注当G=X时,即为欧式看涨期权．

定义4[1]欧式缺口看涨期权的保险精算价格定义为

(9)

3定理1的证明

由引理2及3可得

由于

ξ1,

且

cov(ξ1,ξ2)=0, cov(ξ2,ξ3)=0, cov(ξ1,ξ3)=D4.

记

则

其中

令

则

由引理4得

所以

4结束语

利用双分数布朗运动随机分析理论和保险精算方法,研究了双分数布朗运动环境下的缺口期权定价问题,得到了随机利率下的缺口期权定价公式,体现了金融资产的长期记忆性．此后，结合我国金融市场现实情况,该模型还有待进一步改进和修正．

参考文献(References):

[1]蔺捷,薛红,王晓东.分数布朗运动环境下缺口期权定价模型[J].哈尔滨商业大学学报:自然科学版,2012,28(5):617-619.

LINJie,XUEHong,WANGXiaodong.GapoptionpricingmodelinfractionalBrownianmotionenvironment[J].JournalofHarbinUniversityofCommerce:NaturalSciencesEdition,2012,28(5):617-619.

[2]张艳,孙彤.关于欧式缺口期权定价模型的研究[J].徐州师范大学学报,2006,24(12):44-47.

ZHANGYan,SUNTong.Studyoneuropeangapoptionpricingmodel[J].JournalofXuzhouNormalUniversity:NaturalScienceEdition,2006,24(12):44-47.

[3]张艳,周圣武,韩苗,等.随机利率Vasicek模型下的欧式缺口期权的定价研究[J].大学数学,2012,28(4):98-101.

ZHANGYan,ZHOUShengwu,HANMiao,etal.Studyoneuropeangapoptionpricingundervasicekinterestratemodel[J].CollegeMathematics,2012,28(4):98-101.

[4]何成洁, 沈明轩.分数布朗运动环境中欧式缺口期权的定价[J].科技信息,2008(24):435-439.

HEChengjie,SHENMingxuan.EuropeangapoptionpricingunderfractionalBrownianmotion[J].Science&TechnologyInformation,2008(24):435-439.

[5]ES-SEBAIYK,TUDORCA.MultidimensionalbifractionalBrownianmotion:ItoandTanakaformulas[J].StochasticsandDynamics,2007,7(3):365-388.

[6]RUSSOF,TUDORC.OnthebifractionalBrownianmotion[J].StochasticProcessesandApplications,2006,116(5):830-856.

[7]肖炜麟，张卫国，徐维东.双分式布朗运动下股本权证的定价[J].系统工程学报，2013,28(3):348-354.

XIAOWeilin,ZHANGWeiguo,XUWeidong.PricingequitywarrantsinabifractionalBrownianmotion[J].JournalofSystemsEngineering,2013,28(3):348-354.

[8]NUALARTD,TAQQUMS.Wick-ItoformulaforregularprocessesandapplicationstotheBlackandScholesformula[J].Stochastics:AnInternationalJournalofProbabilityandStochasticProcesses,2008,80(5):477-487.

[9]BLADTMogens,RYDBERGTinahviid.Anacturialapproachtooptionpricingunderthephysicalmeasureandwithoutmarketassumptions[J].Insurance:MathematicsandEconomics,1998,22(1):65-73.

[10]薛红,王媛媛.分数Vasicek利率下创新重置期权定价[J].纺织高校基础科学学报,2015,28(1):62-71.

XUEHong,WANGYuanyuan.Pricinginnovativeresetoptionsunderractionalvasicekinterestrate[J].BasicSciencesJournalofTextileUniversities,2015,28(1):62-71.

[11]唐奎,杜燕,张志恒.分数几何布朗运动环境下幂型支付期权的保险精算定价[J].重庆理工大学学报:社会科学,2010,24(6):33-37.

TANGKui,DUYan,ZHANGZhiheng.ActuarialpricingofpowerpayoffoptionsinfractionalgeometricBrownianmotionenvironment[J].JournalofChongqingUniversityofTechnology:SocialScience,2010,24(6):33-37.

[12]郑红,郭亚军,李勇,等.保险精算方法在期权定价模型中的应用[J].东北大学学报:自然科学版,2008,29(3):429-432.

ZHENGHong,GUOYajun,LIYong,etal.Applicationofactuarialapproachtooptionpricingmodel[J].JournalofNortheasternUniversity:NaturalScience,2008,29(3):429-432.

[13]闫海峰,刘三阳.广义Black-Scholes模型期权定价新方法——保险精算方法[J].应用数学和力学,2003,24(7):730-738.

YANHaifeng,LIUSanyang.Newmethodtooptionpricingforthegeneralblack-scholesmodel——Anacturarialapproach[J].AppliedMathematicsandMechanics,2003,24(7):730-738.

[14]RYDBERGTH.ThenormalinverseGaussianLevyprocess:Simulationandapproximation[J].StochasticModels,1997,13(4):887-910.

[15]黄文礼,陶祥兴,李胜洪.分数维Vasicek利率模型下的欧式期权定价公式[J].数学学报,2012,55(2):219-230.

HUANGWenli,TAOXiangxing,LIShenghong.Pricingformulaforeuropeanoptionsunderthefractionalvasicekinterestratemodel[J].ActaMathematicaSinica,2012,55(2):219-230.

[16]LIChenwei,XUEHong.AnactuarialapproachtoconvertiblebondpricinginfractionalBrownianmotionenvironment[C]//The3rdInternationalConferenceonE-businessandE-government,Shanghai,2012:2404-2407.

[17]XUEHong,LUJunxiang,LIQiaoyan,etal.Fractionaljump-diffusionpricingmodelunderstochasticinterestrate[C]//2011 3rdInternationalConferenceonInformationandFinancialEngineering,Singapore:IACSITPress,2011,12:428-432.

编辑、校对：师琅

文章编号:1006-8341(2016)02-0178-06

DOI：10.13338/j.issn.1006-8341.2016.02.008

收稿日期：2015-07-08

基金项目:陕西省教育厅自然科学专项基金资助项目(12JK0862)；陕西省自然科学基础研究计划资助项目(2015JM1034)

通讯作者:薛红(1964—),男,山西省万荣县人,西安工程大学教授，研究方向为随机分析与金融.

中图分类号：O 211;F 830

文献标识码：A

Gap option pricing model under bifractional stochastic interest rate

JINYuhuan,XUEHong,FENGJinqian

(School of Science, Xi′an Polytechnic University, Xi′an 710048, China)

Abstract:In order to reflect the long memory property of the financial assets,and eliminate financial arbitrage in fractional Brownian motion environment,the asset price changes behavior of the gap options is depicted with bifractional Brownian motion.It is assumed that asset price process follows stochastic differential equations driven by bifractional Brownian motion,and the interest rate satisfied the Vasicek model, using the stochastic analysis theory for bifractional Brownian motion and the method of actuarial mathematics,the mathematical model of financial market was built.And the pricing formula of gap option under bifractional stochastic interest rate was obtained. The result of the gap option pricing formula in fractional Brownian motion environment is extended.

Key words:bifractional Brownian motion; gap option; stochastic interest rate; actuarial mathematics

E-mail: xuehonghong@sohu.com

引文格式：金宇寰,薛红,冯进钤.双分数随机利率下缺口期权定价模型[J].纺织高校基础科学学报,2016,29(2)：178-183.

JIN Yuhuan,XUE Hong,FENG Jinqian.Gap option pricing model under bifractional stochastic interest rate[J].Basic Sciences Journal of Textile Universities,2016,29(2):178-183.