P∞－内射模及其刻画

谢 晋，王芳贵，胡 晴

(四川师范大学数学与软件科学学院，四川成都610066)

P∞－内射模及其刻画

谢 晋，王芳贵*，胡 晴

(四川师范大学数学与软件科学学院，四川成都610066)

设R是任何环，模D称为P∞－内射模，是指对任何投射维数有限的模P，有．证明了(P∞，D∞)构成一个余挠理论当且仅当l．FPD(R)＜∞，其中P∞表示投射维数有限的模类，D∞表示P∞－内射模类;还证明了若l．gl．dim(R)＜∞，则每个P∞－内射模是内射模;最后证明了每个R－模是P∞－内射模当且仅当l．FPD(R)=0．

投射维数;P∞－内射模;余挠理论;环的finitistic维数

本文恒设R是有单位元的结合环，所有的模均指左R－模，用RM表示所有左R－模所构成的模类，pdRM表示模M的投射维数，gl．dim(R)表示环R的整体维数，P∞表示投射维数有限的模类，F∞表示平坦维数有限的模类．

余挠模作为刻画非有限Abel群的有力工具，由D．K．Harrision［1］引入．R－模C称为余挠模，是指对一切平坦模F，都有．之后，众多专家学者对余挠模进行了研究［2－6］．尤其是J．Z．Xu［2］系统地刻画了余挠模的相关性质，证明了平坦模类F与余挠模类C构成一个余挠理论(F，C)，并进一步证明了每个R－模是余挠模当且仅当环R是左完全环．L．Bican等在文献［3］中证明了(F，C)是一个完全的余挠理论．

S．B．Lee［7］引入了弱内射模的概念．模W称为弱内射模，是指对任意平坦维数不超过1的模M，有

E．E．Enochs等在文献［8］中引入了n－余挠模的概念，这是一类较弱内射模更广的模类．模H称为n－余挠模，是指对任意平坦维数不超过n的模M，有．Mao等在文献［9］中也提到n－余挠模的概念，但两者是不一致的．而熊涛［10］在文献［8］意义下的n－余挠模作了更详细地讨论．

J．Z．Xu在文献［2］中引入了强余挠模．R－模L称为强余挠模，是指对任何平坦维数有限的模M，都有．Bennis等在文献［11］中证明了若R是交换环，则每一R－模是强余挠模当且仅当R是完全环．胡晴等［12］在一般的非交换环上讨论了强余挠模的性质，证明了每一R－模是强余挠模当且仅当R是左完全环，且l．FFD(R)=0．

文献［13］引入了Pn－内射模的概念，这是n－余挠模的推广，模D称为Pn－内射模，是指对任何投射维数不超过n的模P，有．本文在这些研究的基础上，引入了P∞－内射模的概念，它是作为强余挠模的推广和Pn－内射模的加强，还讨论了P∞－内射模的性质，证明了每个R－模是P∞－内射模当且仅当

1 P∞－内射模

定义1．1 设R是任何环，D是R－模．如果对任意投射维数有限的模P，有，则称D是P∞－内射模．

下面用P∞表示投射维数有限的模类，D∞表示P∞－内射模所构成的模类．

例1．2 下面的事实是显然的．

1)内射模是P∞－内射模;

2)对任何整数n≥0，P∞－内射模是Pn－内射模;

3)设R是整环，D是P∞－内射模．对a∈R，a≠0，由于，知D是可除模;

4)设{Di}是一簇R－模，则∏Di∈D∞当且仅当每个Di∈D∞;

命题1．3 对R－模D，下面的陈述是等价的: 1)D是P∞－内射模;

2)对任何模M∈P∞，以及任何整数k≥1，有

3)任何正合列0→D→B→C→0，其中pdRC＜∞，是分裂的;

4)若0→A→B→C→0是正合列，其中pdRC＜∞，则序列

也是正合的．

证明 1)⇔3)⇔4)和2)⇔1)是显然的．

1)⇔2) k=1的情形显然成立．现假设k＞1．设M∈P∞，则有正合列:0→A→P→M→0，其中P是投射模．故有．显然有pdRA=pdRM－1＜∞．故对k使用归纳法有

命题1．4 设0→A→B→C→0是正合列，则:

1)如果C∈P∞，则A∈P∞当且仅当B∈P∞;

2)如果A∈D∞，则B∈D∞当且仅当C∈D∞;

证明 显然．

设M是R－模，

是M的投射分解．令K0=M，K1=ker(P0→M)，对n≥2，令Kn:=ker(Pn－1→Pn－2)．Kn称为M的第n个合冲．

对应地，设N是R－模，

是N的内射分解．令 L0=N，对 n≥1，令 Ln:= Im(En－1→En)．Ln称为N的第n个上合冲．

定理1．5 设D是P∞－内射模．则D的任何上合冲是P∞－内射模．

证明 设W是D的第m个上合冲(m≥0)，则有正合列

其中E0，E1，…，Em是内射模．对任何M∈P∞，设Km是M的第m个合冲，则pdRKm＜∞．故．从而有W是 P∞－内射模．

易知每个内射模都是P∞－内射模，下面给出P∞－内射模是内射模的一个充分条件．

定理1．6 设D是P∞－内射模．若pdRD＜∞，且pdRE(D)＜∞，其中E(D)是模D的内射包，则D是内射模．

证明 考虑正合列0→D→E(D)→C→0，由条件有pdRC≤max{pdRD，pdRE(D)}+1＜∞，则由命题1．3，此正合列分裂，因此D是内射模．

推论1．7 若l．gl．dim(R)＜∞，则每个P∞－内射模都是内射模．

证明 设W是P∞－内射模，M是任意R－模，由假设，pdRM＜∞，从而有，故W是内射模．

2 模类P∞与模类D∞

设A，B是2个左R－模类．记

A⊥={B∈RM|对任何A∈A，

以及

⊥B={A∈RM|对任何B∈B，

回顾左R－模类对(A，B)称为一个余挠理论，是指A⊥=B，且⊥B=A．

设(A，B)是一个余挠理论．如果对正合列0→A→B→C→0，由B，C∈A能推出A∈A，则称(A，B)是遗传的余挠理论;等价地，对正合列0→A→B→C→0，由A，B∈B能推出C∈B．(A，B)称为完全的余挠理论，是指每个模都有一个A盖．等价地，每个模都有一个 B包，则由定义1．1可知，D∞=．下面来证明一般地有(P∞，D∞)不构成余挠理论．

命题2．1 P∞=

证明 这是显然的．

设R是环，H．Bass［14］引入了环R的左finitistic维数:

M是R－模，且pdRM ＜∞}．

命题2．2 若FPD(R)=∞，则存在R－模M，使得pdRM=∞，但对任何D∈D∞，有=0．

证明 由条件FPD(R)=∞，有对任何正整数n，存在R－模Mn，使得pdRMn=n．令，则pdRM=sup{pdRMn}=∞．由于对任何D∈D∞，有，因此有

3)⇔4) 这是平凡的．

4)⇔1) 设M是R－模，pdRM＜∞，则对任何D∈Dn，由条件，D是P∞－内射模，故0．由引理2．4知，pdRM≤n．于是有FPD(R)≤n＜∞．

2)+3)⇔(5) 由文献［13］知，(Pn，Dn)构成一个余挠理论．

推论2．3 若FPD(R)=∞，则(P∞，D∞)不构成余挠理论．

下面将证明在FPD(R)＜∞的条件下，(P∞，D∞)构成一个余挠理论．并且由命题1．4可知，这时，(P∞，D∞)还构成一个遗传的余挠理论．为此，需要下面的引理．

引理2．4 设 n是自然数，M、D是 R－模，则有:

1)M∈Pn当且仅当对任何D∈Dn，D)=0;

2)D∈Dn当且仅当对任何M∈Pn，D)=0．

证明 由文献［13］(Pn，Dn)构成一个遗传的余挠理论可得证．

定理2．5 对环R，以下各条等价:

1)FPD(R)＜∞;

2)存在自然数n，使得Pn=P∞;

3)存在自然数n，使得Dn=D∞;

4)存在自然数n，使得每一Pn－内射模是P∞－内射模;

5)(P∞，D∞)构成余挠理论．

证明 1)⇔2) 设FPD(R)=n，则当pdRM＜∞时，就有pdRM≤n．由此得到Pn=P∞．

2)⇔3) 显然，这是因为

5)⇔1) 由推论2．3知FPD(R)=∞是矛盾的，故FPD(R)＜∞．

对定理2．5的证明作适当变更，容易得到下一个定理．

定理2．6 设n是自然数．对环R，以下各条等价:

1)FPD(R)≤n;

2)Pn=P∞;

3)Dn=D∞;

4)每一Pn－内射模是P∞－内射模．

推论2．7 若FPD(R)=∞，则对任意自然数n，存在一个Pn－内射模不是P∞－内射模．

证明 由FPD(R)=∞ ＞n及定理2．6即可得证．

上面的推论告诉Pn－内射模不一定是P∞－内射模．例如，取R为域，向R上添加可数无限多个未定元x1，x2，…，xn，…，可得环R1=R［x1，x2，…，xn，…］，则FPD(R1)=∞．从而对任意自然数n，存在一个Pn－内射模不是P∞－内射模．

当R是非交换环时，H．Bass在文献［14］中指出左完全环与l．FPD(R)=0是不一致的．文献［13］给出了满足l．FPD(R)=0的环R的一个刻画: l．FPD(R)=0当且仅当每个模是Pn－内射模．下面将给出满足l．FPD(R)=0的环R的另一刻画．

定理2．8 对环R，以下各条等价:

1)每个模都是P∞－内射模;

2)若M∈P∞，则M是投射模;

3)l．FPD(R)=0．

证明 1)⇔2) 设N是任何R－模．由假设，N是P∞－内射模，故有．因此，M是投射模．

2)⇔3) 证明是显然的．

3)⇔1) 由定理2．6即可得．

当R是交换环时，由文献［15］知R是完全环当且仅当FPD(R)=0，则有以下推论．

推论2．9 交换环R是完全环当且仅当每个R－模都是P∞－内射模．

下面的例子证明 P∞－内射模不一定是内射模．

例1．8 设R是交换QF环，但非半单环:例R =Z4，则R为完全环，故FPD(R)=0．所以对任意R－模M，M是P∞－内射模．由于R非半单环，所以并非每个R－模是内射模．因此，对这样的R，存在R－模N为P∞－内射模，但N非内射模．事实上，设N为R－模，pdRN=∞，则N非投射模，从而非内射模．

致谢 四川师范大学研究生优秀论文培育基金(201554)对本文给予了资助，谨致谢意．

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The Characterizations on P∞-injective Modules

XIE Jin，WANG Fanggui，HU Qing

(College of Mathematics and Software Science，Sichuan Normal University，Chengdu 610066，Sichuan)

Let R be a ring．An R-module D is called a P∞-injective module iffor any R-module P with finite projective dimension．In this paper，we prove that(P∞，D∞)is a Cotorsion theory if and only if l．FPD(R)＜∞，where P∞is the class of all R-modules with finite projective dimension，and D∞is the class of all P∞-injective modules．It is also shown that if l．gl．dim(R)＜∞，then every P∞-injective module is injective．Finally，we prove that every R-module is P∞-injective module if and only if l．FPD(R)=0．

projective dimension;P∞-injective module;Cotorsion theory;finitistic dimension

O154

A

1001－8395(2016)04－0475－04

10．3969/j．issn．1001－8395．2016．04．002

(编辑 周 俊)

2015－04－27

国家自然科学基金(11171240)

*通信作者简介:王芳贵(1955—)，男，教授，主要从事交换代数、同调代数与代数K－理论的研究，E－mail:wangfg2004@163．com

2010 MSC:16D50;16E30