环的整体强无挠维数与STH环

陈勇君，王芳贵，陈幼华

(四川师范大学数学与软件科学学院，四川成都610066)

环的整体强无挠维数与STH环

陈勇君，王芳贵，陈幼华*

(四川师范大学数学与软件科学学院，四川成都610066)

设R是任何环，D是右R－模．若对任何平坦维数有限的左R－模M，有，则D称为强无挠模．利用模的强无挠维数和环的整体强无挠维数对环进行刻画，引入了st

－VN正则环和STH环的概念．

强无挠模;强无挠维数;整体强无挠维数;st－VN正则环;STH环

本文恒设R是有单位元的结合环，fdRL和pdRL分别表示R－模L的平坦维数和投射维数，F∞表示平坦维数有限的左R－模类，l．gl．dim(R)和w．gl．dim(R)分别表示环R的左整体维数和弱整体维数，r．stf．dRN表示右R－模N的强无挠维数，r．stf．dim(R)表示环R的(右)整体强无挠维数，RM和MR分别表示左R－模范畴和右R－模范畴，其他相关符号可在文献［1］中找到．

J．Z．Xu［2］引入了强无挠模的概念．右R－模D称为强无挠模，是指对任何平坦维数有限的左R－模 M，有．Reza［3］在交换Noether环上讨论了R－模N在什么条件下是强无挠模．S．Reza［4］继续在环R是交换Noether局部环的条件下对强无挠模进行了研究．

H．Y．Yan［5］着重在一般非交换环上对强无挠模的性质进行了研究，并给出了R－模N的强无挠维数(stf．dRN)的定义．右R－模N的强无挠维数，是指使得0→Dn→Dn－1→…→D1→D0→N→0正合，且每个Di都是强无挠R－模的最小非负整数n．如果没有这样的整数n存在，则记r．stf．dRN=∞．文献［5］还给出了R－模N的强无挠维数的另一等价定义，是指使得的最小的非负整数n，其中M∈F∞．2016年，文献［6］遵循H．Y．Yan［5］的思路定义了环的(右)整体强无挠维数(r．stf．dim(R))．设R是环，定义

r．stf．dim(R)=sup{r．stf．dRN|N∈MR}，为R的(右)整体强无挠维数．

关于模的强无挠维数的讨论在文献［5－6］中都有表述．本文在这些研究的基础上，按照同调理论的思想利用环的整体强无挠维数来刻画环的结构，且关于任何同调维数的讨论常常是考虑其遗传性，因此自然地去研究强无挠右R－模的子模是强无挠模的环的结构，即r．stf．dim(R)≤1的环．本文在一般非交换的环上应用右R－模N的强无挠维数和环R的(右)整体强无挠维数，引入了st－VN正则环和STH环的概念．

1 st－VN正则环

定理1．1 设φ:R→T是环同态，且T作为左R－模有l．fdRT＜∞．若D是强无挠右R－模，则D是强无挠T－模．

证明 设M是任意左T－模，且l．fdTM＜∞，由平坦维数的换环定理，有l．fdRM≤l．fdTM+l． fdRT＜∞．由于D是强无挠右R－模，故=0．设0→K→F→M→0是正合列，其中F是平坦左T－模．设是自然同态，其中

推论1．2 设φ:R→T是环同态，且T是平坦左R－模．若D是强无挠右R－模，则是强无挠T－模．

推论1．3 设R是交换环，a∈R既不是零因子也不是单位．若D是强无挠R－模，则D/aD是强无挠R/aR－模．

推论1．4 设R是交换环，S是R的乘法封闭集．若D是强无挠R－模，则DS是强无挠RS－模．

推论1．5 设R是交换环，D是强无挠R－模，则D［X］是强无挠R［X］－模．

命题1．6 设R是交换环，N是R－模，则

证明 设n是非负整数，若stf．dRN≤n，则存在一个正合列

其中每个Di都是强无挠R－模，i=0，1，…，n．于是

是正合列．由推论1．5知每个Di［X］都是强无挠R［X］－模，i=0，1，…，n，因此

另一方面，令stf．dR［X］(N［X］)≤n，则存在一个正合列

其中F0，F1，…，Fn－1是平坦R［X］－模，且Fn是强无挠R［X］－模．于是

是正合列．由推论1．3知每个Fi/xFi都是强无挠R－模，i=0，1，…，n．故stf．dRN≤n，因此

环R称为VN正则环，是指每个R－模都是平坦模．相应的，引入右st－VN正则环的概念来对环进行刻画．

定义1．7 环R称为右st－VN正则环，是指每个右R－模都是强无挠模．

例1．8 1)显然，VN正则环是st－VN正则环．

2)设R=R1×R2是环的直积，则R是右st－VN正则环当且仅当R1与R2都是右st－VN正则环．

定义1．9［8］环R的左finitistic维数和左弱finitistic维数分别定义为

l．FPD(R)=sup{l．pdRM|l．pdRM ＜∞}，和

l．FFD(R)=sup{l．fdRM|l．fdRM ＜∞}．

容易看到，对任何环R，

l．FFD(R)≤l．FPD(R)≤l．gl．dim(R);

l．FFD(R)≤w．gl．dim(R)≤l．gl．dim(R)．

定理1．10 对环R，则以下各条等价:

1)R是右st－VN正则环;

2)r．stf．dim(R)=0;

3)l．FFD(R)=0;

4)对任何M∈F∞，有M是平坦模;

5)每个有限表现右R－模是强无挠模．

证明 1)⇔2)显然．

1)⇔3)由文献［6］推论3．7即得证．

2)⇔4)由文献［6］定理4．6，有r．stf．dim(R) =0⇔对任何 N∈MR，以及任何 M∈F∞，有TorR1(N，M)=0，即M是平坦模．

1)⇔5)显然．

5)⇔4)设X是任意有限表现右R－模，由条件，有X是强无挠模．对任何M∈F∞有=0，故M是平坦模．

回顾环R称为右IF环，是指每一内射右R－模是平坦模［9］．文献［9］定理3．5证明了右IF环R是VN正则环当且仅当w．gl．dim(R)≤1．

推论1．11 设R是右IF环，则R有

证明 由条件及文献［10］得到l．FFD(R)=0，再由定理1．10，即得证．

推论1．12 设R是环，则以下各条等价:

1)R是VN正则环;

2)l．FFD(R)=0，且w．gl．dim(R)＜∞;

3)R是右IF环，且w．gl．dim(R)＜∞;

4)R是右st－VN正则环，且w．gl．dim(R)＜∞．

证明 1)⇔2)由于R是VN正则环，则

即任意左R－模M都是平坦模．于是l．fdRM=0，故l．FFD(R)=0，得证．

2)⇔1)由条件知:任意R－模都是平坦模，即R是VN正则环．

2)⇔3)由条件知:环R是VN正则环，即任意右R－模都是平坦模，从而环R是右IF环，且

3)⇔2)由于环R是右IF环及推论1．11，知r．stf．dim(R)=0．再由定理1．10知l．FFD(R)=0，即得证．

2)⇔4)由定理1．10，即得证．

推论 1．13 设 R是交换完全环，则 R有stf．dim(R)=0，从而R是交换Artin环，则R有

推论1．14 设R是交换完全环，且

则R是半单环．

证明 由于R是交换完全环，则由文献［7］定理5．7．6知FPD(R)=0．又FFD(R)≤FPD(R)=0，则FFD(R)=0，从而R是st－VN正则环，即每个R－模都是强无挠模．又由于w．gl．dim(R)＜∞，由文献［6］命题2．7知每个强无挠模都是平坦模．再由R是完全环，则由文献［7］的定理5．7．4知每一平坦模是投射模，故每个R－模是投射模，因此R是半单环．

2 STH环

环R称为右遗传环，是指每个右R－投射模的子模是投射模，即等价于r．gl．dim(R)≤1．相应的，引入右STH环的概念来对环进行刻画．

定义2．1 环R称为右STH环，是指每个强无挠右R－模的子模是强无挠模，即r．stf．dim(R)≤1．

例2．2 1)显然，右遗传环是右STH环．

2)右st－VN正则环仍是右STH环．

3)若w．gl．dim(R)≤1，则R是右STH环，因此半遗传环也是STH环．特别地，Prüfer整环也是STH环．

定理2．3 对环R，则以下各条等价:

1)R是右STH环;

2)平坦右R－模的子模是强无挠模;

3)自由右R－模的子模是强无挠模;

4)l．FFD(R)≤1;

5)R的每个右理想是强无挠模．

证明 1)⇔2)⇔3)显然．

1)⇔4)设任何M∈F∞，X是任意右R－模，则存在一个正合列0→K→F→X→0，其中F是平坦模．于是K是强无挠模，因而有正合列

4)⇔2)对于平坦右R－模F的任一子模K，有正合列0→K→F→X→0．对任何M∈F∞，由假设有l．fdRM≤1．因此有正合列

3)⇔5)显然．

5)⇔4)设I是R的任意右理想，M∈F∞，则0→I→R→R/I→0是正合列．由条件，I是强无挠模．于是由同构关系，故l．fdRM≤1，即l．FFD(R)≤1．

推论2．4 设交换环R是STH环，S是R的乘法封闭集，则RS也是STH环．

证明 设M是RS－模且fdRSM＜∞，则fdRM= fdRSM＜∞．引用定理2．3命题4)，得fdRM≤1，故fdRSM≤1，因此RS也是STH环．

定理2．5 设R是环，则以下各条等价:

1)l．FFD(R)=0;

2)l．FFD(R)≤1，且每一内射模是强无挠模．

证明 1)⇔2)由定理1．10即得证．

2)⇔1)设X是任意右R－模，则存在一个正合列0→X→E→C→0，其中E是内射模．由条件，E是强无挠模．又由定理2．3，知X是强无挠模．再由定理1．10，得到l．FFD(R)=0．

引理2．6 设R是交换环，a∈R既不是零因子也不是单位．若FFD(R)≤n，其中n≥1，则

证明 令珔R=R/aR，设M是任意珔R－模且fd珔RM＜∞，由文献［7］的定理4．9．7，有fdRM=fd珔RM+1＜∞．由条件有fdRM≤n，从而fd珔RM≤n－1，故得证．

定理2．7 设R是dim(R)=1的交换Noether环，则R是STH环．

证明 由于R是Noether环，则由文献［7］的定理6．3．4知dim(R)=FPD(R)=1．再由于FFD (R)≤FPD(R)，则FFD(R)≤1，故R是STH环．

定理2．8 设R是环，则以下各条等价:

1)w．gl．dim(R)≤1;

2)R是右STH环，且w．gl．dim(R)＜∞;

3)R是右STH环，且每一强无挠模是平坦模．

证明 1)⇔2)对任何右R－模N，则r．stf．dRN≤r．fdRN，故r．stf．dim(R)≤w．gl．dim(R)≤1，故得证．

2)⇔3)由文献［6］的命题2．7即得证．

3)⇔1)设X是任意右R－模，则存在一个正合列0→K→F→X→0，其中F是平坦模．由于R是右STH环，故K是强无挠模，从而K是平坦模，因此w．gl．dim(R)≤1．

推论2．9 设R是交换凝聚环，则以下各条等价:

1)w．gl．dim(R)≤1;

2)R是STH环，且w．gl．dim(R)＜∞;

3)R是STH环，且每一强无挠模是平坦模;

4)R是半遗传环．

证明 1)⇔2)⇔3)由定理2．8得证．

1)⇔4)设I是R的任意有限生成理想，由于R是凝聚环，则I是有限表现的．又由于w．gl．dim(R)≤1，则由文献［7］的定理5．5．10有I是平坦模．再由文献［7］的定理3．4．7有I是投射模，故R是半遗传环．

4)⇔1)显然．

推论2．10 设R是Noether整环，则以下各条等价:

1)w．gl．dim(R)≤1;

2)R是STH环，且w．gl．dim(R)＜∞;

3)R是STH环，且每一强无挠模是平坦模;

4)R是Prüfer整环，即R是半遗传整环;

5)R是Dedekind整环，即R是遗传整环．

证明 1)⇔2)⇔3)由定理2．8得证．

1)⇔4)参见文献［7］的定理5．5．11．

4)⇔5)显然．

推论 2．11 设 R是 w．gl．dim(R)＜∞的Noether整环，则R是STH环当且仅当dim(R)= FPD(R)≤1．

证明 若R是STH环，由推论2．10知R是遗传整环．于是gl．dim(R)≤1，故FPD(R)≤gl．dim(R)≤1．再由文献［11］知dim(R)=FPD(R)，故得证．

反之，设dim(R)=FPD(R)≤1，由于FFD(R)≤FPD(R)，则FFD(R)≤1．再由定理2．3，故R是STH环．

例2．12 STH环未必是半遗传环．例如:设D是w．gl．dim(D)=1的Prüfer整环，则

其中X是未定元．令R=D［X］/(X2)，由引理2．6知FFD(R)≤1，从而R凝聚STH环．用x表示是X在R中的像，而x≠0且x2=0，故x是R的幂零元，因此R不是约化环．又由文献［12］命题1知，w．gl．dim(R)=∞，故R不是半遗传环．

例2．13 STH整环未必是Prüfer整环，Noether的STH整环未必是Dedekind整环．例如:设Q是有理数域，X，Y是未定元，则X2+2Y2是不可约多项式．因此R=Q［X，Y］/(X2+2Y2)是Noether整环，且其Krull维数dim(R)=1．由文献［11］知dim(R) =FPD(R)．再由于FFD(R)≤FPD(R)，则FFD(R)≤1，故R是Noether的STH整环．由文献［13］的例2．11知，R不是整闭整环，且R是Gorenstein－Dedekind整环，因此R不是Dedekind整环．

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Global Strongly Torsion-free Dimensions of Rings and STH Rings

CHEN Yongjun，WANG Fanggui，CHEN Youhua

(College of Mathematics and Software Science，Sichuan Normal University，Chengdu 610066，Sichuan)

Let R be a ring and D a right R-module．If TorR1(D，M)=0 for all left R-modules M with finite flat dimension，then D is called a strongly torsion-free．We make use of the strongly torsion-free dimension of a module and global strongly torsion-free dimension of a ring to charaterize rings．Then we introduce the concept of st-VN regular rings and STH rings．

strongly torsion-free modules;strongly torsion-free dimensions;global strongly torsion-free dimensions;st-VN regular rings;STH rings

O154

A

1001－8395(2016)04－0503－05

10．3969/j．issn．1001－8395．2016．04．007

(编辑 周 俊)

2015－05－21

国家自然科学基金(11171240)、教育部博士点专项科研基金(20125134110002)和四川省教育厅自然科学青年基金(15ZB0030)

*通信作者简介:陈幼华(1979—)，男，副教授，主要从事交换环与星型算子理论的研究，E－mail:yhchen2006@163．com

2010 MSC:16E10;16E60