非奇异环的同调刻画

2016-07-24 17:24徐龙玉万吉湘
关键词:投射模子模同态

徐龙玉,胡 葵,乔 磊,万吉湘

(1.西南科技大学理学院,四川绵阳621010; 2.四川师范大学数学与软件科学学院,四川成都610066; 3.绵阳师范学院数学与计算机科学学院,四川绵阳621000)

非奇异环的同调刻画

徐龙玉1,胡 葵1,乔 磊2,万吉湘3

(1.西南科技大学理学院,四川绵阳621010; 2.四川师范大学数学与软件科学学院,四川成都610066; 3.绵阳师范学院数学与计算机科学学院,四川绵阳621000)

引入ZP-平坦右模来刻画左非奇异环.设R是环,右R-模N称为ZP-平坦模,是指对任意a∈Z(RR),有TorR1(N,R/Ra)=0;左R-模M称为ZP-内射模,是指对任意a∈Z(RR),有Ext1R(R/Ra,M)=0.证明了关于ZP-平坦模的Lambek准则,即右R-模N是ZP-平坦模当且仅当其特征模N+是ZP-内射模.还证明了R是左非奇异环当且仅当任意右R-模是ZP-平坦模当且仅当内射左R-模的商模是ZP-内射模.

本质子模;ZP-平坦模;ZP-内射模;非奇异环

1 预备知识

本文中提及的环都是带有单位元1的结合环,所有的模都是酉模.对a∈R,用l(a)表示a的左零化子,用Z(RR)表示所有使得l(a)是R的本质子模的元素a的集合.对右R-模N,用N+表示N的特征模,即N+=Hom(N,Q/Z),其中Z表示整数加群,Q表示有理数加群.用l.pdRM表示左R-模M的左投射维数.

R.Goodearl[1]首先讨论了左非奇异环.环R称为左非奇异环,是指Z(RR)=0成立.相应地,环R称为左奇异环,是指Z(RR)=R.N.V.Dung[2]给出了左遗传环与左非奇异环的关系,证明了R是左遗传环,且有E(RR)是投射模当且仅当R是左非奇异环,且每个非奇异左R-模是投射的,其中E(RR)表示R作为左R-模的内射包络.T.Y.Lam[3]给出了交换环是非奇异环的等价刻画,即交换环R是非奇异环当且仅当R是约化环.在环与模范畴中,常利用平坦模与内射模来刻画环,如文献[4-15]等.本文的主要目的旨在用同调的方法来刻画左非奇异环.为此,引入了ZP-平坦右R-模的概念.通过对ZP-平坦模和ZP-内射模展开讨论,得到了左非奇异环的一个同调刻画(见本文定理12).

定义 1 设 N是右 R-模.若对任意 a∈ Z(RR),有,则称N为ZP-平坦模;等价地,R是正合列.

定义2[8]设M是左 R-模,若对任意a∈ Z(RR),有,则称M是ZP-内射模;等价地,HomR(R,M)→HomR(Ra,M)→0是正合列.

2 主要结果

下面只对ZP-平坦模展开讨论.

例3 下面的断语是显然的:

1)设R是左非奇异环,则任意右R-模是ZP-平坦模;

2)设R是左奇异环,则右R-模N是ZP-平坦模当且仅当N是P-平坦模;

3)P-平坦(右)模显然是ZP-平坦(右)模,反之不一定成立.例如,设R是整环但不是域,则Z(RR)=0.现取非零非单位a∈R,则R/aR是ZP-平坦模,但不是P-平坦模;

4)设{Ni|i∈Γ}是一簇右R-模,则Ni是ZP-平坦模当且仅当每个Ni是ZP-平坦模.

定理4 设N是右R-摸,以下条件等价:

1)N是ZP-平坦右R-模;

2)对任意a∈Z(RR),有正合列

3)对任意a∈Z(RR),自然同态Na是同构.

证明 1)⇔2)显然.

1)⇔3)对任意a∈Z(RR),设iR:Ra→R是包含映射,则有交换图如下.

故μN是单同态当且仅当是单同态.又因为μN一定是满同态,故μN是同构当且仅当是单同态,当且仅当N是ZP-平坦右R-模.

命题5 设A是右R-模N的ZP-平坦子模,则对于任意a∈Z(RR),自然同态是单同态.

若N是ZP-平坦模,仍由定理4,右端的垂直箭头是同构.因此有μ是满同态,故Im(μ)=Ka=K

定理6 设0→A→B→C→0是右R-模正合列.若A和C是ZP-平坦模,则B是ZP-平坦模.

证明 对任意a∈Z(RR),由正合列即得.

定理7 设0→K→M→N→0是右R-模的正合列,其中M是ZP-平坦右R-模.则N是ZP-平坦模当且仅当对任意a∈Z(RR),Ka=K∩Ma.

证明 考虑2行是正合列的如下交换图,其中右边2个垂直箭头是自然同态,μ是右边交换方图的诱导同态.由定理4,中间的垂直箭头是同构.∩Ma.

反之,设Ka=K∩Ma,即μ是满同态.仍由上面的交换图知右端的垂直箭头是单同态,从而也是同构.故N是ZP-平坦模.

定理8 设{Ni|i∈Γ}是定向集Γ上的右R-模的正向系.若每个Ni是ZP-平坦模,则也是ZP-平坦模.

证明 对任意 a∈Z(RR),由即得.

推论9 若右R-模N的每个有限生成的子模都是ZP-平坦模,则N是ZP-平坦模.

证明 由于N都是有限生成子模的直接并,故应用定理8即得.

定理10 设N是右R-模.若N的每个有限生成子模都包含在N的某个ZP-平坦子模中,则N是ZP平坦模.

证明 对任意a∈Z(RR),考虑自然同态μN:N.若,则存在N的ZP-平坦子模A,使得x∈A.于是自然同态μA:A是同构.于是在中,.由如下交换图知在中有,故μN是单同态,从而是同构.故N是ZP-平坦模.

下面来证明关于ZP-平坦模的Lambek准则.

定理11 设N是右R-模,则N是ZP-平坦模当且仅当N+=HomZ(N,Q/Z)是ZP-内射模.

证明 设N是ZP-平坦右R-模.对任意a∈Z(RR),有0→NRRa→NRR是正合列.故有如下交换图.由于Q/Z是内射Z-模,故顶行是正合列.由相伴同构定理,2个垂直的箭头是同构,因此有底行也是正合列.于是得到N+是ZP-内射左R-模.

反之,设 N+是 ZP-内射模.对任意,由正合列0→Ra→R及HomZ(N,Q/Z)是ZP-内射模知HomR(R,N+)→HomR(Ra,N+)→0是正合列.由伴随同构定理知

用ZP-平坦右模和Lambek准则可以完全刻画左非奇异环.

定理12 对于环R,以下条件等价: 1)环R是左非奇异环;

2)任意右R-模是ZP-平坦模;

3)对任意a∈Z(RR),Ra是RR的纯子模;

4)对任意a∈Z(RR),R/Ra是投射模;

5)对任意a∈Z(RR),Ra是R的直和加项;

6)对任意a∈Z(RR),Ra是投射模;

7)对任意a∈Z(RR),Ra是有限表现模,且ZP-平坦右R-模的子模是ZP-平坦模;

8)对任意a∈Z(RR),Ra是有限表现模,且R的每个右理想是ZP-平坦模;

9)内射左R-模的商模是ZP-内射模;

10)每一左R-模是ZP-内射模.

证明 1)⇔2)显然.

2)⇔3)设a∈Z(RR),N是右R-模.由条件知是正合列,故Ra是RR的纯子模.

3)⇔4)设N是右R-模.对任意a∈Z(RR),由条件知0→Ra→R→R/Ra→0是纯正合列.因此R/Ra是平坦模.由于R/Ra是有限表现模,故R/Ra是投射模.

4)⇔5)由条件,0→Ra→R→R/Ra→0是分裂的正合列,故Ra是R的直和加项.

5)⇔6)显然.

6)⇔1)由条件,0→l(a)→R→Ra→0是分裂的正合列,故l(a)是R的直和加项.由于l(a)还是RR的本质子模,故有l(a)=R.因此a=0,从而R是左非奇异环.

2)+6)⇔(7)⇔(8)显然.

8)⇔6)设I是R的右理想,a∈Z(RR).由条件,I是ZP-平坦模,故由正合列0→I→R→R/I→0,有TorR2(R/I,R/Ra)TorR1(I,R/Ra)=0.又由正合列0→Ra→R→R/Ra→0,得到.因此,Ra是平坦模.由于Ra是有限表现模,故Ra还是投射模.

6)⇔9)设0→A→B→C→0是左R-模正合列,其中B是内射左R-模.对任意a∈Z(RR),由条件,l.pdRR/Ra≤1,因此有正合列.故,于是有C是ZP-内射模.

9)⇔6)设A是任何左R-模,0→A→E→C→0是正合列,其中E是内射模.由条件9)知C是ZP-内射模.因此对任意 a∈Z(RR),.因此Ra是投射模.

2)+6)⇔10)设M是任何左R-模.由于Ra是有限表现模,有

由于M+是ZP-平坦模,可得从而有,故M是ZP-内射模.

10)⇔2)设N是任何右R-模.由条件,N+是ZP-内射模.由定理11,N是ZP-平坦模.

利用环的整体维数刻画环结构的方式相比较,看到定理12中10)对应的是一种广义的半单性,而9)对应的是一种广义的遗传性.这意味着若人们希冀用模的ZP-内射分解来定义环的整体ZP-内射维数,并以此来刻画环的结构,将会出现一种奇异现象,不存在这样的1维环.无独有偶,1984年K.N.Ho[16]定义了环R的整体有限表现维数:

M是任何有限生成R-模},

其中f.p.dimRM表示M的投射分解

使得P0,P1,…,Pn,Pn+1都是有限生成投射模的n的下确界.K.N.Ho[6]证明了fp.dim(R)=0当且仅当R是Noether环,但不存在整体有限表现维数为1的环.

致谢 西南科技大学博士基金(13ZX7119)对本文给予了资助,谨致谢意.

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On a Homological Characterization of Nonsigular Rings

XU Longyu1,HU Kui1,QIAO Lei2,WAN Jixiang3

(1.College of Science,Southwest University of Science and Technology,Mianyang 621010,Sichuan; 2.College of Mathematics and Software Science,Sichuan Normal University,Chengdu 610066,Sichuan; 3.College of Mathematics and Computer Science,Mianyang Normal College,Mianyang 621010,Sichuan)

Let R be a ring.A right R-module N is called ZP-flat iffor any a∈Z(RR)and a left R-module M is called ZP-injective if.It is proved that a right R-module N is ZP-flat if and only if N+=Hom(N,Q/Z)is ZP-injective.Finally,some new characterizations about the left nonsingular rings are given.A ring is left nonsingular if and only if every right R-module is ZP-flat if and only if any quotient module of an injective left R-module is ZP-injective.

essential submodule;ZP-flat module;ZP-injective module;nonsingular ring

O153.3;O154

A

1001-8395(2016)04-0514-04

10.3969/j.issn.1001-8395.2016.04.009

(编辑 周 俊)

2015-02-01

国家自然科学基金(11171240)

徐龙玉(1979—),女,讲师,主要从事环与模范畴理论的研究,E-mail:xulongyu3@163.com

2010 MSC:13C10;13D07

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