找寻儿童数学，打造动感课堂（七）

策略十三 数形结合，化难为易

数形结合是数学中一种重要的思想方法，它将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，使代数问题几何化或几何问题代数化，为问题的解决提供简捷明快的途径。综观小学教材的各个学段和各个领域，适合渗透数形结合思想方法的教学内容可谓比比皆是。

1.在数的认识教学中利用数形结合

数感主要是指关于数与数量、数量关系、运算结果估计等方面的感悟。建立数感有助于学生理解现实生活中数的意义，理解或表述具体情境中的数量关系。

《标准》把培养学生的数感作为义务教育阶段数学教育的一项重要目标。只有为学生提供充分的可感知的现实背景，才能使学生真正理解数的概念。

2.在概念学习时利用数形结合

在“中国教育学会小学数学教学专业委员会第十三届年会”上，北京大学附属小学的李宁老师执教的《质数与合数》一课，就很好地体现了“数形结合”思想在概念教学中的优势。本节课教学过程清晰流畅、层次清楚、富有新意。下面是其中的教学片断：

第一步：课前谈话

引导学生欣赏参加军训的相片，引发方阵的问题。

第二步：提出问题

师：刚才我们提到了军训中的排方阵，今天李老师为每组准备了一些小方块，你们能用上所有的小方块摆出长方形或正方形吗？

（学生分成七组，每组的小方块数量分别是4、5、7、9、11、12、24）

生：能。

师：咱比一比哪一组的设计方案最多，并将设计好的方案记录在表格里。

[总块数＼&每行的块数＼&行数＼&＼&＼&＼&＼&＼&＼&＼&＼&＼&]

（学生分成七组研究并记录研究方案。教师巡视，解答学生研究过程中的问题，并注意收集学生对方案多少产生的疑惑，为引导学生进一步研究做好准备。这一环节设计的目的主要是引导学生初步建立数与形之间的感性认识，为进一步学习打基础。）

第三步：交流并引发冲突

（1）引导学生分组汇报研究成果（教师帮助学生记录研究成果）。

第一组：4=4×1=2×2

第二组：5=5×l

第三组：7=7×l

第四组：9=9×1=3×3

第五组：11=11×1

第六组：12=12×l=6×2=4×3

第七组：24=24×1=12×2=8×3=6×4

师：第七组太棒了！你们真了不起，设计的方案最多。你们是今天当之无愧的冠军！

生：不公平。

（2）教师收集学生的意见并记录下来。

教师板书学生的质疑：数的大小、奇数偶数、因数个数。

（3）教师适时评价，引发学生进一步研究。

师：相信你们说的都有各自的道理，刚才我看到了每个组的同学都在想办法，想使方案尽可能多，但有些数摆完后，方案只有一种，有的就不止一种，我们一起来看一看。

（教师引导学生将方案中只有一种和方案不止一种的数形图选出来，分别呈现在黑板上。）

师：那么方案的多少到底与什么有关呢？刚才老师提供的学具不公平，如果让同学自己选你们愿意吗？

（教师通过课堂评价有意制造矛盾冲突，由此引发学生进一步探索和研究的欲望。）

第四步：再次尝试

首先，教师呈现再次可供选择的块数：46、25、59、32、36、51；

其次，各组学生分别派代表自主选择并进行研究；

最后，引导学生交流研究体验，发现因数的个数是影响方案多少的决定性因素。通过再次体验，引导学生关注数与因数之间的关系。

第五步：比较归纳

首先，观察归纳。

师：既然因数的个数是决定性因素，就让我们共同观察我们曾经研究过的数的因数。方案只有一种的这些数有什么特点？

（引导学生从因数的特点、因数的个数和数形图不同的维度进行观察。）

其次，引导学生归纳质数的概念。

最后，在学生准确归纳质数的基础上归纳合数的概念。

以上教学片断，教师用军训方阵的具体情景引出用方块摆“方阵”的操作活动。操作生成的丰富方案引发学生思考：摆出长方形（或正方形）的多少，可能与方块的个数是奇数还是偶数、大小或因数的个数有关。在此基础上，教师组织学生再次操作探索“什么是影响方案多少的决定因素”，直指质数、合数概念的内涵。数与形相结合，操作与思考融为一体，帮助学生清晰地构建了质数、合数的概念。

3.在理解算理、归纳法则时利用数形结合

算理是四则运算的理论依据，它由数学概念、运算定律、运算性质等构成；运算法则是四则运算的基本程序和方法。运算是基于法则进行的，而法则又要满足运算定律等。所以，算理为法则提供了理论依据，法则又使算理可操作。

数轴不但将抽象的数直观形象化，而且也有助于理解运算，将运算直观形象化。加法就是在数轴上继续向右数，或者看做是向右平移若干个单位；减法就是在数轴上先找到“被减数”，然后再向左数，或者看做是向左平移若干个单位；乘法就是在数轴上几个几个地向右数，或者把一“线段”拉长几倍；除法就是在数轴上先找到“被除数”，然后向左几个几个地数，如果恰好数到0，则就是“除尽”，数了几次，商就是几，当不能恰好数到0，就产生了余数。

4.在解决问题时利用数形结合

小学生在解决问题的过程中，实质上是完成了两个认识上的转化。第一个转化是指从纷乱的实际问题中，收集、观察、比较、筛选出有用的信息，从而抽象成数学问题；第二个转化是根据已抽象出来的数学问题，全面分析其中的数量关系，探索出解决问题的方法并求解。

实际问题变化多端，把它们抽象成数学问题，有的结构也较特殊，因此，对学生来讲，并非所有的题目一开始就能发现其中的数量关系。如果能为学生提供一些有效的解决问题的策略，将有助于提高他们解决问题的能力和数学思维能力。

美国数学家斯蒂思曾说过，如果—个特定的问题可以转化为一个图形，那么就整体地把握了问题，并且能创造性地思考问题的解法。教师要让学生尝试把“应用问题”画出来，提高学生的画图能力。

5.在探索规律时利用数形结合

为了进一步理解倒数概念的内涵，教师可以安排快速求倒数的练习，并利用线段图，突出一个数与它的倒数的相互依存关系及真分数、假分数的倒数和单位“1”的关系，使学生体会到单位“1”的重要地位。之后，又通过让学生把刚才的一组组倒数作为长方形的长与宽想象长方形的环节，再次借助几何直观，在线段（一维）直观的基础上，进入面积（二维）直观，将“图”与“数”联系，直观与思辨并重，使学生获得了比较深刻的情感体验和学习经验。

6.在突破难点时利用数形结合

经常使用直观模型。在日常教学中，教师应有意识地引导学生认识多种直观模型。例如：实物、点子图、面积模型和数线等。这些模型在课堂上不断呈现，可以使学生认识到在数学学习中直观模型的重要作用。

鼓励使用多元表征。鼓励学生早期使用多元表征，不仅有助于培养学生用自己的方式解决问题的兴趣，而且这是未来学习的基础。

培养数形转化意识。在日常教学中，应结合具体内容，有意识地引导学生见数想形、因形思数，使数与形结合，培养学生数形相互转化的意识。

总之，“数”辅助“形”，可以将“数”形象化；“形”辅助“数”，可以使“数”直观化。数形结合是一种重要的教学手段。

策略十四 善于举例，帮助理解

南京大学郑毓信教授曾撰文谈数学教师的三项基本功，包括：善于举例、善于提问、善于比较与优化。他首先谈到的就是“善于举例”。

1.教师举例要符合学生的接受水平

要从学生的知识水平、理解能力、生活经历等出发，选用学生容易观察、便于想象的例子，或者亲身经历的事情。这样的例子可感性强，易于理解和接受。所举事例要浅显、贴切、自然，富有生活气息，语言要生动、幽默，这样才易于促进学生对知识的理解，才易于集中学生的注意力。

2.教师举例要恰当、确切，具有典型性和说服力

若所举事例在同类事物中具有代表性，则对学生理解观点具有普遍指导意义。即所举事例既要使学生较全面、清晰地感知事物的形象和基本属性，便于学生准确与加深理解观点的实质，又要能启发学生思维，提高学生分析解决问题的能力，达到举一反三、迁移知识的效果与目的，防止就事论事。

3.教师举例要具体而又形象

所举的例子形式要新颖，内容要形象、具体、生动，可感性要强，表述要言简意赅、通俗易懂、具有较强的感染力。

为了帮助学生理解乘法分配律，教师可以举下面的例子：

a代表爸爸、b代表妈妈、×代表爱、c代表我。

（a+b）×c=a×c+b×c爸爸和妈妈爱我，也就是爸爸爱我，妈妈也爱我。或c×（a+b）=c×a+c×b，我爱爸爸和妈妈，也就是我爱爸爸，我也爱妈妈。

4.教师举例要内容丰富、形式多样

两步计算的应用题，第一步需要求出的是一个“隐蔽条件”（或者说“中间问题”）。对于这样一个既是条件，又是问题的数量，学生理解起来是很困难的。著名特级教师刘德武曾给学生举过这样一个例子：

“如果我们从虎坊桥出发，乘公共汽车到颐和园，有没有直达汽车？”

“没有。”

“那怎么办？”

“坐15路，到动物园再倒车。”

“对！”

刘老师边说边在黑板上画了一幅示意图。

然后刘老师问学生：“虎坊桥是我们出发的起点，颐和园是到达的终点，那么动物园是起点，还是终点？”

“动物园既是起点，又是终点。它是15路的终点，又是332路的起点。”

这样，再结合具体应用题进行分析，学生对两步应用题的结构和思路就十分清楚了。他们在互相讲题时甚至都爱说：“你先得把这道题的‘动物园求出来。”“动物园”简直成了隐蔽条件的代名词。

5.举例要能够突出学科特点

在教学同分母分数的加法时，教师将分母比成妈妈，分子比成小孩，跟小朋友说妈妈只能有一个，所以是不会变的，不能相加，小孩的数量可以改变，所以要相加，所以：[25+25=45]，而不是[25+25=410]。

当然，比方终究只是比方，它的意义只在于帮助理解，不能代替严密的数学论证，但是，它的重要性确实不可小觑。

责任编辑 刘玉琴