灵活应用数学思想 轻松解决函数问题

马小芸

【关键词】 数學教学；数学思想；函数问题

【中图分类号】 G633.6 【文献标识码】 A

【文章编号】 1004—0463（2016）06—0116—01

函数是初中数学的重要内容，是初中数学知识体系的精髓之一，是刻画和研究客观世界变化规律的重要模型.许多数学问题、实际问题都与函数知识息息相关，都需要通过函数知识来解答.对初中生而言，虽然函数知识的学习是由简到难、循序渐进的，但是很多学生从学习一次函数开始，就对解决函数问题不知所措，更不能灵活掌握其解题方法.究其原因，主要是学生没有掌握其中的数学思想方法.那么，如何能使学生轻松掌握函数知识，灵活应用数学思想方法解决与函数有关的数学问题呢？下面，笔者结合教学实践，谈谈初中涉及到的几种数学思想方法.

一、分类讨论思想

当数学问题中包含多种可能的情况或多种不同的位置关系，就需要依据不同情况分类讨论得出结论，从而通过问题的局部解决来实现整体的突破.在引入有理数概念的同时就蕴含着分类讨论的思想，这种思想在以后的学习中不断加强，在解决函数问题时，分类讨论的思想显得非常突出.如下题：

例（2013年铜仁中考）：已知直线y=3x-3分别交x轴、y轴于A、B两点，抛物线y=x2+bx+c经过A、B两点，点C是抛物线与x轴的另一个交点（与A点不重合）.

（1）求抛物线的解析式；（2）求△ABC的面积；（3）在抛物线的对称轴上，是否存在点M，使△ABM为等腰三角形？若不存在，请说明理由；若存在，求出点M的坐标.

分析：本题是二次函数的综合题，涉及了待定系数法求二次函数解析式、等腰三角形的性质及三角形面积，难点在第三问，当所给条件中没有说明哪条边是等腰三角形的腰时，要对其进行分类讨论.可以按每一个顶点都有可能是顶角的顶点分三种情况讨论①AM=AB，②BM=BA，③MB=MA求出m的值后即可.在分类中做到细心缜密、考虑周全，才能够不遗漏每一种情况.

二、数形结合思想

数轴的引入为数形结合思想奠定了基础，借助数轴，点与数形象而又直观地呈现出来.直角坐标系的建立为函数提供了展示的舞台，在直角坐标系中有序数对与平面内的点一一对应，使函数与其图象的数与形的结合成为必然.初中阶段学习的一次函数、反比例函数、二次函数的图象都是在直角坐标系中得以展示，这种思想方法在函数知识的学习与应用中则显得更加重要，在相关是函数题型中利用数形结合思想解决问题能起到事半功倍的效果.

例，直线y=x1x+b（k1≠0）与双曲线y=（k2≠0）相交于A（1，2）、B（m，-1）两点.（1）求直线和双曲线的解析式；（2）若A1（x1，y1），A2（x2，y2），A3（x3，y3）为双曲线上的三点，且x1<0

分析：本题第二问和第三问都可用数形结合的方法解答，要比较y1，y2，y3的大小，只需要在x轴上取x1、x2、x3，使x1<0

三、方程与函数思想方法

方程思想简单地说就是运用方程或不等式的解答方式来求解，而函数思想一般就是指构造函数继而利用函数的性质去处理问题.函数的研究不能离开方程，同时方程问题借助函数知识去处理才能更简单.

例 若方程a（x+m）2+b=0的两个根分别为x1=0，x2=3，那么方程a（x+m+6）2+b=0的根是 .

分析：本题是一道填空题，花费较多的时间通过计算去解答费时费力，如果利用函数思想则可达到事半功倍的效果.可设y1=a（x+m）2+b、y2=a（x+m+6）2+b，观察解析式可知抛物线y1=a（x+m）2+b向左平移6个单位长度可得抛物线y2=a（x+m+6）2+b，而方程a（x+m+6）2+b=0的根是抛物线y2=a（x+m+6）2+b与X轴交点的横坐标，由此可得方程a（x+m+6）2+b=0的根是x1=-6， x2=-3.

总之，在课堂教学重视数学思想方法的渗透是培养学生数学素质的需要，通过长期数学思想方法的培养，使学生的认知结构不断地完善和发展，才能使学生学会学习和学会创新.编辑：谢颖丽