关于恒速物体间接做功的结论及应用

郑 金

(凌源市职教中心　辽宁 朝阳　122500)



关于恒速物体间接做功的结论及应用

郑 金

(凌源市职教中心辽宁 朝阳122500)

利用多种方法推导了恒速物体在发射质点过程中对质点间接做功的公式及有关结论，探究了不同参考系中某个力做的功、某个物体做的功,以及媒介物体对加速物体做的功或提供的能量的计算方法，并对相关物理问题从多角度进行解答.

恒速物体参考系做功能量

在恒速运动的物体上通过间接物体向前或向后发射质点，由于质点与恒速物体通过间接物体相互作用，因此在地面参考系中对变速质点应用动能定理列方程时，要考虑恒速物体对变速质点间接做的功，称为“借物传功”，对于这种功的大小有确定的关系式，用来解答有关的物理问题可化繁为简，拓展思路.

1　结论推导

现以质量相差悬殊的两个平动物体相互作用后分离的情况为例，来推导出恒速物体发射质点做功多少的一个结论.

【问题】在光滑水平面上，质量为M的平板车，以速度v0做匀速直线运动，车上的发射装置沿水平方向向前发射一个质量为m的小球，使之获得速度v，若M≫m，求发射小球时平板车对小球做的功.

解析:对于在平板车上向前发射小球的过程，由于M≫m，则可认为平板车以恒速v0运动.在发射小球时为了维持平板车恒速，需由系统之外的力对平板车提供能量ΔE.设平板车发生的位移为s0，则外力对平板车做的功为Fs0=ΔE，由于平板车受力平衡，则外力F与弹簧对平板车的作用力f大小相等，方向相反；由于弹簧质量为零，那么弹簧对小球的作用力f′与f大小相等，方向相反.因此外力F与弹簧对小球的作用力f′大小相等，方向相同，即F=f′.对小球由动量定理有f′t=m(v-v0)，则Ft=m(v-v0)，而s0=v0t，所以维持平板车匀速运动所需的能量为

W0=Fs0=m(v-v0)v0=muv0

当以平板车为参考系时，车对小球不做功；当以地面为参考系时，维持车匀速运动的外力对车做的功为W0，弹簧释放的弹性势能为Q，因此车和小球组成的系统增加的能量为W0+Q，由于车的动能保持不变，所以系统增加的能量全部转化为小球的动能，即对系统由动能定理有

该式是关于恒速物体与变速物体通过中间物体相互作用时系统满足的功能关系式.

但如果认为此式是对小球应用功能关系，那么方程中的W0就相当于恒速物体对变速物体通过中间物体做的功，实际是系统之外的力对系统做的功，称为“借物传功”.平板车与小球不接触，则没有直接作用，只能通过弹簧间接作用.

结论:若在水平方向以恒速v0运动的物体上向前发射一个质点m，使其速度由v0增大到v，则恒速物体对加速质点间接做的功等于质点的质量与相对速度和恒定速度之积，即W0=m(v-v0)v0=muv0.

2　结论应用

对于某些恒速物体通过媒介物体发射质点的物理问题，或某些质量较大物体通过媒介物体发射质量较小物体的物理问题，在以地面为参考系时，都可利用恒速物体间接做功的结论来解答.

【例1】质量为M的轮船以速率v0行驶，向其前进方向水平发射一质量为m的炮弹，炮弹出口速度为u(相对于船)，若M≫m，试问：火药推力对炮弹做的功为多少？火药对炮弹提供的能量为多少？

解法1:用常规方法

以地面为参考系，根据动量守恒定律有

(M+m)v0=Mv+m(u+v)

可得轮船的速度为

炮弹的动能增量为

轮船的动能增量为

设火药推力大小为F，轮船发生的位移大小为s0，炮弹相对于轮船的位移大小为s′，则对炮弹和轮船分别由动能定理有

W=F(s0+s′)=ΔEk

因此火药推力对炮弹做的功为

火药对炮弹提供的能量为

即

取轮船的质量M→∞，则

解法2:利用结论法

再以地面为参考系，则轮船对炮弹间接做的功为W0=muv0，根据火药推力对炮弹做的功等于“借物传功”与炮弹获得能量之和得

由此可见，对于有关在恒速物体或质量很大的物体上发射质点的问题，可直接应用结论来解答.

【例2】一人手里拿着一个质量为1 kg的铁球随车一起以1 m/s的速度匀速运动，现在人要以2 m/s的速度把这个铁球向前抛出，问：人做的功为多少？铁球获得的能量为多少？(设车速不变)

解法1:由于车速不变，则可选取车为惯性参考系.在该参考系中，人对车不做功，只对铁球做功.开始铁球相对车的速度为零，后来铁球相对车的速度为u=v2-v1，对铁球由动能定理有

所以铁球获得人提供的能量为0.5 J.

解法2:若以地面为参考系，则铁球动能的增量为

由于匀速运动的车对铁球间接做的功为

W0=m(v2-v1)v1=1 J

所以人提供给铁球的能量为0.5 J.

如果将人视为弹簧，则人手推力做的功相当于弹簧做的功，等于弹簧弹力对小球做的功与弹簧弹力对车做的功之和，即为一对弹力做的功，恰好等于弹簧的弹性势能，所以人做的功等于人消耗的能量.由于车的动能保持不变，所以铁球获得人的能量为0.5 J.由于匀速运动的车对铁球间接做的功为W0=1 J，所以铁球获得的总能量为1.5 J.

【例3】某人在以速率v行使的大船上先以速率u(相对船)向船头方向投球，再以相同速率u(相对船)向船尾方向投球，试问：在两次投球中，对球做的功是否相同？人做的功是否相同？

在大船参考系中，人对船不做功，所以人做的功就是人对球做的功，是相同的.

解法2：以地面为参考系，则人向前投球时对球做的功即球的动能增量为

向后投球时对球做的功即动能增量为

可见在两种情况下人对球做的功不相同.

人做的功等于人对球做的功与人对船做的功之和，人对球做的功即为球的动能变化，而向前抛球时船对球间接做的功为W0=muv0，则人对船做的功为负值，可知人做的功为

可见在两种情况下人做的功相同.

【例4】有一辆正在向东以5 m/s的速度匀速行驶的大平板车，车上固定一张桌子，桌面上固定一个弹射器，使其方向正对向西，将弹簧压缩后锁定，弹性势能为Ep=5 J，把一个质量为0.1 kg的弹丸装入其中，解锁后，弹丸被弹出弹射器，求其弹出瞬间对地的速度为多少？

解法1:以车为参考系，由机械能守恒定律有

可得v1=10 m/s.这是弹丸相对车的速度，可知弹丸相对地的速度大小为v2=v1-v0=5 m/s，方向向西.

1李高斌.对功、能问题几个易混淆概念的讨论.物理教学，2007(4)：10

2李敬华.功和能的相对性.数理天地，2008(11)：27

3袁芳，朱炯明.功、动能和机械能.物理教学，2012(7)：6

4尚俊明.关于“两次投球做功是否相同”的讨论.物理教学，2006(3)：36

5乔美玉，刘海.也谈发射卫星至少需要多少燃料问题.物理教学，2009(6)：58

6王宗昌.再谈“两次投球做功是否相同”的问题.物理教学，2006(8)：43

7张玮.再谈卫星发射需要多少燃料.物理教学，2007(11)：52

2015-10-12)