关于勾股定理教学中的重点问题剖析

吴叶科

[摘 要] 笔者从一些教学实例入手，对勾股定理教学当中的几个重点问题进行了剖析，希望能够抛砖引玉，为这部分内容的教学设计理清思路.

[关键词] 勾股定理；重点问题；初中数学

从初中阶段起，学生开始对平面几何知识进行深入系统的研究. 在这之中，勾股定理一直是教学内容的重中之重. “勾股定理”这个名词，很多学生早已有所耳闻，但正式开始学习之后才发现，它的内涵远远超出了人们口中常说的“勾三股四弦五”的范畴. 看似简单的一个定理，其中所包含的规律与变化却是极为丰富的，这一点在勾股定理内容的相关习题当中表现得十分明显. 特别是当勾股定理与其他知识内容关联在一起时，解题难度瞬间显著提升，成为学生学习数学的一个难点. 对此，笔者从一些教学实例入手，对勾股定理教学当中的几个重点问题进行了剖析，希望能够抛砖引玉，为这部分内容的教学设计理清思路.

理解定理内涵，有效分析问题

要想将勾股定理掌握到位，前提是将它的内涵理解清楚. 深入挖掘理论含义便会感受到，它所包含的意义与方法远远不止文字表面叙述的那么简单. 为了让学生全面、确切地认识到勾股定理的内涵，并将之有效运用到具体问题的分析过程当中，教师有必要通过设置一些具有代表性的习题来加深学生的知识印象.

例如，在完成了勾股定理基本内容的教学之后，笔者请学生尝试解答如下习题：如图1，在△ABC中，∠A=90°，点P是AC的中点，PD⊥BC于点D，BC=9，CD=3，求AB的长. 首先，需要连接PB（如图2），由此可得BD=BC-DC=6. 然后，在Rt△BDP和Rt△PDC中，分别应用勾股定理，即PD2=BP2-BD2，PD2=CP2-CD2，从而得到BP2-BD2=CP2-CD2. 于是得出BP2- CP2=BD2-CD2=36-9=27. 再由AP=PC可得出BP2-AP2=AB2=27，最终得到AB=3. 在这个问题的解答过程当中，在以PD为公共边的两个直角三角形当中运用勾股定理是解题的关键，这也向学生展现了勾股定理的具体内涵. 学生也意识到，只会机械地背诵勾股定理的基本公式并不是目的，只有在这样的题目当中找出勾股定理之所在，并引导问题顺利求解，才是有效学习所需要的.

在实际教学当中，如果仅仅是以平铺直叙的方式来进行定理内涵的教学，往往无法将其中的抽象含义阐释清楚. 初中阶段的学生也比较喜好新鲜活泼的教学方式，单调的讲述显然是不适宜的. 因此，笔者采取了将理论知识训练融入具体问题解答当中的方式. 在解题训练的过程当中，学生对勾股定理内涵的感知才最真实.

构造特殊图形，探寻解题思路

通过对勾股定理的相关习题进行分析便不难发现，对这部分内容的考查并不一定是以十分直接的方式进行的. 命题者总会将之同比较灵活或复杂的解题方法结合起来，使问题呈现出较强的综合性. 为此，要求学生在理解定理内涵的基础上掌握更多有效解题的方法.

例如，在勾股定理内容的学习过程当中，学生曾遇到过这样一道习题，感到解答难度很大：如图3，∠A=60°，∠B=∠D=90°，AB=2，CD=1，求BC和AD的长. 题目所给的图形是一个不规则的图形，学生不知应当如何入手. 但是，如果能够注意到已知条件当中的两个直角的存在，并将之与勾股定理的内容联系起来，分析思路就会自然出现. 我们可以通过分别延长BC和AD相交于点E（如图4），使之形成一个直角三角形，求出AE和CE的长. 再分别借助Rt△ABE和Rt△CDE中勾股定理的运用，求出BE和DE的长，于是BC与AD的长也就自然得出了. 学生大多习惯于在图形内添加辅助线，而很少能够想到将图形向外扩展加以补充. 如果大家能够以勾股定理的适用作为思维方向的引导，上述的构造想法也就不难得出了.

灵活处理几何问题时，巧妙添加辅助元素来构造特殊图形，能推动复杂问题有效解答. 因此，这也成为初中阶段平面几何教学所关注的重点技能，自然也是教师在勾股定理内容教学过程当中应当特别重视的. 当然，构造特殊图形的方法多种多样，我们不可能通过课堂教学来一一穷尽. 教师需要更多地借助典型题目来对学生加以引导，启发他们这方面的思维，逐步提升他们的独立解题能力.

把握面积联系，开展巧妙分析

从表面上看，勾股定理所关注的只是线段与数字之间的关系. 但是，在实际解题过程当中，与勾股定理内容相关的习题却没有局限在这些元素的范围之内. 特别是在一些较为复杂的问题之中，学生不仅要从“线”的角度着眼，还需要将视野拓展到“面”的范畴，为勾股定理问题提供更多巧妙的思路.

例如，在勾股定理知识的学习当中，有这样一道十分经典的习题，笔者常会拿出来请学生感受和尝试：如图5，在△ABC中，∠B=90°，两直角边AB=7，BC=24. 在三角形内有一点P到各边的距离相等，则这个距离是多少？仅从线段的长度角度来看，这道题比较难入手. 但如果学生能够从面积的角度来进行分析，思路就出现了：如图6，设点P到各边的距离为r，连接PA，PB，PC. 根据几个三角形之间的面积关系，有S+S+S=S，也就得出了AB·r+BC·r+AC·r=AB·BC的关系，很容易得出r的值为3，也就是题目当中所需求的答案. 当然，用面积的方法分析问题的想法也不是凭空出现的，主要是根据已知条件中垂线段的启发，联想到三角形的高，进而引出面积的思考. 以面积方法解题的结论并不重要，重要的是要让学生明白这个结论得出的思考过程.

从上述示例不难发现，从“面”的角度入手，面积是一个极佳的切入点. 当我们无法从“线”的路径获得问题解答的思路时，便可以站到“面”的视角上，尝试找到更多的分析问题的方法. 这也从另一个侧面告知学生，对数学问题进行思考，一定要将思维开阔、灵动起来，不要拘泥于眼前的条件现状，而要尽可能找到更多切入的方向，为解题服务.

适当加入旋转，鼓励运动研究

勾股定理之所以能够成为初中数学教学的核心内容之一，就在于掌握这部分内容所需调动的综合能力. 除了前文所谈到的分析路径的不断扩充之外，还要求学生突破传统的静止思维，以运动的眼光来看待和分析知识内容. 这不仅有利于知识内容的探究，更是对学生数学思维质量的整体性提升.

例如，在勾股定理的学习过程中，笔者曾经为学生设计了这样一道习题：如图7，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D和点E在BC上，且∠DAE=45°. 求证：CD2+BE2=DE2. 这道题的分析思路的出现是从待求证的结论得出的，从这个形式便会很自然地联想到勾股定理. 然后，问题出现了：这三条线段并不在同一个直角三角形当中. 那么，怎样才能将它们归于同一个直角三角形中来加以证明呢？旋转是一个很好的途径，也就是将△ABE绕点A逆时针旋转90°得到△ACF，连接FD（如图8）. 这种思维方式很好地启发了学生的动态思维，为疑难问题的求解提供了一个全新的分析方向.

在初中数学的各类测试当中，相似类型问题的出现是非常频繁的. 要想解决这类问题，仅靠静止的思维远远不够，学生还需要让图形动起来，让思维动起来，方能找到解决数学问题的新可能. 平面几何的学习从来都离不开想象能力，学习勾股定理自然也不例外. 当然，我们在这里所讨论的旋转只是几何运动的主要形式之一，教师还应当继续启发和引导学生，帮助他们将宏观的运动思维建立起来.

不难发现，对勾股定理内容的探究是一个比较完整且综合的数学知识能力感知过程. 学生不仅需要从定理本身出发，深入挖掘它的思想内涵，还要善于将该理论运用到具体问题的解答当中，并努力适应问题的灵活多变，广泛调动数学方法来分析问题. 通过勾股定理内容的深入学习，学生普遍完善了自己的思维体系，并有效灵活了头脑，对初中数学学习的适应能力也更强了. 对于勾股定理这一重点知识内容，教师一定要找出其中具有代表性的关键部分，带领学生对其加以关注与剖析，从而提纲挈领地掌握知识，提高能力，实现初中数学的优质教学实效.