含定积分的等式与不等式的证明

苏　丽，王旭丹

（大连科技学院　基础部，辽宁　大连　116052）

含定积分的等式与不等式的证明

苏丽，王旭丹

（大连科技学院基础部，辽宁大连116052）

文章列举了多种证明方法，包括利用定义，利用性质，利用积分中值定理，许瓦兹不等式，变上限积分，泰勒公式等来完成含有积分的等式和不等式的证明问题.

定积分；等式；不等式；证明

在教学过程中会遇到很多含有定积分的证明题，由于题型多样，所以解决起来需要一定的技巧.但其根本点是将数值问题归结为函数问题，利用微积分的理论研究函数的性质，再根据函数的性质和特点来完成证明过程.

1　预备知识

1.1定积分的定义

1.2积分中值定理

若f（x）在［a，b］连续，则至少存在一点ξ∈（a，b）使得

1.3积分估值不等式

1.4许瓦兹不等式

设f（x）与g（x）在［a，b］可积，

1.5牛顿莱布尼兹公式

1.6泰勒公式

2　含有定积分的等式证明

例1设f（x）在［a，b］正连续，且f（x）最大值为M，

分析结论要证明极限值为f（x）的最大值，想到了利用两边夹法则，

证明因为f（x）在［a，b］正连续，所以存在x0∈［a，b］，使得f （x0）=M.

且∀ε＞0，∃δ＞0，使得M-ε＜f（x）＜M+ε，当x∈（x0-δ，x0+δ）

由ε任意性，令ε=0有

对上式取极限

例2设f（x）在［a，b］非负连续且严格单调递减，对于任意的n，存在ξn∈［a，b］使得

分析此题结论形似积分中值定理，可利用题中提到的单调性.

因此有

又f（x）严格单调递减，有a≤ξn≤a+2ε，所以

3　含有定积分的不等式证明

3.1利用许瓦兹不等式证明

分析因要证结论中被积函数是乘积的形式，考虑用许瓦兹不等式.

证明由已知条件（f x）在［a，b］上可导，∃x0∈［a，b］使得f（x）=M，又因为f'（x）在［a，b］连续，利用牛顿莱布尼兹公式有

已知f（a）=0及许瓦兹不等式有

3.2利用积分中值定理证明

例4设f（x）定义在［a，b］，且∀x∈［a，b］，f'（x）≥m＞0，

分析要证明的不等式有m，而f'（x）≥m＞0，因此考虑将左面的积分与f'（x）联系起来，此时还可以积分出来.

3.3利用定积分的定义证明

例5设f（x）在［0，1］连续，且f（x）＞0.

分析此题可以利用均值不等式

证明在［0，1］中插入n-1个等分点，

上式两边取极限有

3.4利用变上限积分证明

例6设f（x）在［0，1］连续，且单调递增，

分析课本上利用变上限积分证明出了牛顿-莱布尼兹公式，受此启发我们可以用变上限积分构造辅助函数来解决一些证明问题.

3.5利用泰勒公式证明

将上面的表达式在［a，b］上积分，

在求解过程中，要善于观察表达式特点，灵活运用所学知识，力求简化证明过程.

〔1〕华东师范大学数学系.数学分析［M］.北京：高等教育出版社，2000.

〔2〕同济大学应用数学.高等数学［M］上海：同济大学出版社，2004.

〔3〕刘玉琏，数学分析讲义［M］.北京：高等教育出版社，1988.

〔4〕徐利治，王兴华.数学分析的方法及例题选讲［M］.北京：高等教育出版社，1983.110-112.

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1673-260X（2016）08-0007-02

2016-05-11