考虑预防性维修的备件需求量计算模型

胡起伟，贾希胜，赵建民

（1.军械工程学院装备指挥与管理系，河北石家庄050003；2.军械工程学院训练部，河北石家庄050003）

考虑预防性维修的备件需求量计算模型

胡起伟1，贾希胜2，赵建民1

（1.军械工程学院装备指挥与管理系，河北石家庄050003；2.军械工程学院训练部，河北石家庄050003）

备件是装备使用与维修的重要物质基础，是影响装备寿命周期费用的重要因素。针对传统备件需求量计算模型未考虑预防性维修需求的问题和不足，以工龄更换维修策略为例，建立考虑预防性维修的备件需求量计算模型，提出基于离散法的模型求解算法。通过具体算例对模型的应用方法和效果进行了验证，并与传统的备件需求量计算模型进行了对比分析。研究结果表明：传统备件需求量计算模型存在很大误差；预防性维修策略下备件需求量计算模型能够显著提高备件需求量计算的准确性，不仅可以对任意周期长度的备件需求量进行计算，而且还可以用于分析装备寿命周期备件保障费用。

兵器科学与技术；备件；需求预测；预防性维修；工龄更换

0 引言

备件是指为保证装备的使用和维修而备用的各种元器件、零部件，是实施装备维修的重要物质基础。备件的经费支出在装备整个寿命周期费用中占了相当大的份额，研究表明：在影响装备寿命周期费用的分解结构中，使用保障费用占60%以上，而其中的备件费用约占25% ～30%［1］.

备件需求量计算是备件优化决策的前提，是备件供应规划的重要环节，是备件管理的基础性工作。传统的备件需求量计算方法主要分为两大类：一是时间序列数据方法，例如一次指数平滑（SFS）法、简单移动平均（SMA）法、Croston法［2-3］、Syntetos-Boy1an近似（SBA）法［4-5］、支持向量机［6］法等；二是基于可靠性的方法，即根据装备的可靠性模型进行计算。时间序列数据法简单实用，但严重依赖于历史数据，不适用于缺乏备件消耗历史数据的新装备，并且是在“未来的需求变化能够根据历史数据进行预测”［7］的假设下才能够适用。与传统时间序列法相比，基于可靠性的备件需求量计算方法［1，8-15］采用可靠性函数、维修模型等进行备件需求量计算，不仅降低了对历史数据的依赖，而且适用于装备全寿命周期。但是，目前这方面的相关研究主要考虑的是修复性维修情况下的备件需求，并没有考虑到预防性维修的备件需求。随着武器装备的日益复杂化，为了保持装备的战备完好和任务成功，日常的预防性维修工作是必不可少的，备件需求量计算必须充分考虑预防性维修工作的影响。

本文针对传统的备件需求量计算模型未考虑预防性维修的问题和不足，以工龄更换维修策略为例，研究建立考虑预防性维修的备件需求量计算模型，并探讨模型求解算法，为准确计算备件需求量提供有效的方法。

1 备件需求产生过程分析

工龄更换［16］也称为个别定时更换，是指按每个装备组成单元的实际使用时间（工龄）进行的定时更换。装备中的某个单元在使用过程中即使无故障发生，到了规定的更换工龄T0也要进行更换；如未到规定更换工龄T0发生了故障，则更换新品。无论是预防更换还是故障更换，都要重新记录该单元的工作时间。这相当于对计时器进行了一次清零，下次的预防更换时间，应从这一时刻算起。

根据上述工龄更换的基本概念，可得该种维修策略下备件需求产生的基本过程，如图1所示。当按规定工龄T0进行预防更换时，将产生预防更换，用△表示；当进行故障更换时，则会产生故障更换备件需求，用×表示。由于本文的研究对象为不可修备件，所以假设每次都采用新品进行更换，即每次更换以后都将装备恢复到“新品”状态。因此，就可以将工龄更换策略下备件需求量计算问题转换为：如何根据事先确定的更换工龄T0和单元的可靠性函数，计算在一定的使用时间S内的备件需求量，从而为备件筹措和供应提供科学依据。下文将重点说明备件需求量计算模型的基本原理和方法。

图1　工龄更换策略下备件需求产生过程Fig.1 Generating process of spare parts demand under age rep1acement po1icy

2 考虑预防性维修的备件需求量计算模型

2.1符号与假设

1）T0：更换工龄，单位可以为使用时间（如发数、里程、次数等），也可以为日历时间（如天、周、月、年等）；

2）t：装备组成单元的使用时间；

3）S：备件需求量计算的周期长度，为了计算方便，此处采用与时间T0一致的时间单位；

4）EN（S，T0）：在更换工龄T0下、周期S内的备件需求量；

5）在更换工龄T0下、周期S内的备件需求率；

6）Tp，Tf：分别表示平均预防更换时间和平均故障更换时间。一般情况下预防性维修间隔期要远远大于装备修理时间，并且故障更换会有故障隔离与定位等时间消耗，所以故障更换时间往往大于预防更换时间，故假设T0＞Tf＞Tp；

7）F（t），R（t），f（t），λ（t）：分别表示累计故障分布函数、可靠度函数、故障密度函数和故障率函数，它们都是关于使用时间t的函数；

8）单元最初处于工作状态，随使用时间呈退化趋势，故障率为递增函数；

9）单元预防性维修采用工龄更换策略，为不修复件，不考虑单元故障后修复再利用的情况，采用更换方法进行修复，可靠性恢复到新品状态。

2.2模型的建立

根据装备维修的实际情况，首先按照周期S的长短，对产生备件需求的情况分析如下：

1）当0≤S≤Tf时，由于还未进行完故障更换就已达到使用期限，所以即便是单元发生了故障也无需进行更换。所以，此时备件的需求量应为0.

2）当Tf＜S≤T0+Tf时，根据实际情况，即使到达更换周期T0也没必要进行预防更换，因为还没对其修好就已达到使用期限S；如果故障发生在非常接近S的时刻，也会发生同样情况，即还没对其修好就到达使用期限S，故只有在S-Tf前发生故障时才进行故障更换。所以，此时的备件需求量只有故障更换的备件需求，不存在预防更换的备件需求。

3）当S＞T0+Tf时，当到达工龄T0时进行预防更换；当在S-Tf前发生故障时进行故障更换。所以，此时既有故障更换产生的备件需求，也有预防更换产生的备件需求。

根据上述情况分析，下文将分别按照上述3种情况建立工龄更换策略下备件需求量计算模型。

2.2.1情况Ⅰ，0≤S≤Tf

此种情况属于上述问题的第1种，根据上述分析可知，在0≤S≤Tf情况下的备件需求量为0，即

2.2.2情况Ⅱ，Tf＜S≤T0+Tf

根据上述第2种情况可知，此时并不存在预防更换的情况，备件需求量应该为进行故障更换的备件需求，即为单元在［0，S］时间内的期望故障次数，它是与故障分布函数F（t）对应的更新过程。所以，根据更新过程模型，可得此时备件需求量的表达式为

2.2.3情况Ⅲ，S＞T0+Tf

根据上述第3种情况可知，此时既存在故障更换，又存在预防更换。假设首次故障发生在t时刻。

当t＜T0时，此时还没来得及做预防更换就发生了故障，应该进行故障更换，产生一次故障更换备件需求，此时修复时间为Tf，则有

当t＞T0时，由于故障发生在预防更换时间T0时刻以后，所以应该先进行预防更换，产生一次预防更换的备件需求，此时更换时间为Tp，则有

已知单元在［0，T0］时间内发生故障的概率应为该单元在T0时刻的不可靠度，而单元在该时间段内可靠工作的概率应为其在T0时刻的可靠度。所以可得当S＞T0+Tf的情况下备件需求量的计算公式为

综合（1）式、（2）式和（5）式，即可得到整个周期S内的备件需求量计算公式，即

在备件管理中往往更为关心的是单位时间内的备件需求量，即备件需求率。因此，根据备件需求量可以计算得到备件的需求率为

3 基于离散法的模型求解步骤

（6）式存在着递推关系，采用一般的算法是很难进行求解的。这里采用数值求解思想，采用离散法对上述模型进行近似求解，详细求解过程如下：

步骤1 设置故障发生时间t的离散步长。可以根据计算精度的需要，对时间t的步长进行设置。为计算方便，在计算中将t的离散步长取值为1.根据备件需求量计算的周期长度S，将t从1到S按照步长1进行取值。

步骤2 进行判断。对给定t值逐一进行判断，如果满足第1种情况0≤t≤Tf，转到步骤3；如果满足第2种情况Tf＜t≤T0+Tf，转到步骤4；如果满足第3种情况t＞T0+Tf，转到步骤5.

步骤3 计算0≤t≤Tf时的备件需求量。当t满足0≤t≤Tf时，由（6）式可知EN（t，T0）=0，即EN（1，T0）、EN（2，T0）、…、EN（Tf，T0）都为0.

步骤4 计算Tf＜t≤T0+Tf时的备件需求量。首先计算t=Tf+1时的备件需求量当 t=Tf+2时，有由此可得满足条件Tf＜t≤T0+Tf的任一时间ti内的递推公式为

根据（8）式计算直到t=T0+Tf，则T0+Tf时间内的备件需求量为EN（T0+Tf，T0）。

根据（9）式计算直到t=S，就可以通过离散法计算出在更换工龄T0下、周期S内的备件需求量的期望值EN（S，T0）。

4 算例分析

为了对本文建立的模型及其求解算法进行验证，假设从某装备的组成结构中选取10个单元作为备件，各单元寿命均服从威布尔分布，都为不可修件，均采用工龄更换策略，它们的可靠性分布和维修时间参数见表1所示。已知该装备的服役年限为10 a，前3 a预计平均每年运行1 200 h，中间5 a预计平均每年运行1 800 h，最后2 a平均每年运行1 000 h.要求根据表1中的备件可靠性分布和维修时间数据，在装备寿命早期计算单台装备全寿命周期各阶段的备件需求量和备件保障费用。

由上述已知条件可知，由于该装备缺乏备件消耗历史数据，所以不能采用时间序列方法进行备件需求量计算。为此，这里分别采用本文所建立的模型和传统模型对该装备寿命周期备件需求量进行计算，并进行对比分析。

表1　单元可靠性分布和维修时间参数Tab.1 The parameters of unity re1iabi1ity distribution and maintenance time

4.1用本文模型计算

4.1.1参数变换

由于该装备所有单元的可靠性分布函数和更换间隔期都采用的是工作时间，而更换时间则为日历时间，并且已知该装备的每年运行时间，为了简化计算，首先将工作时间转换为日历时间。假设装备的使用率为r，u表示工作时间（h），t表示日历时间（d）.假设工作时间u和日历时间t为线性关系，即t=u/r.假设每年按照365 d计算，则有：第1年～第3年，t=365×u/1 200 d；第4年～第8年，t= 365×u/1 800 d；第9年 ～第10年，t=365× u/1 000 d.因此，可以将表1中的工作小时转换成日历时间，如表2所示。

表2　时间参数变换结果Tab.2 The resu1ts of time parameters transformation

4.1.2分阶段计算备件需求量

根据本文建立的模型及其求解算法，采用Mat-1ab编写了程序，将表1和表2中的参数代入到程序中，计算可得各阶段备件需求量，如表3所示。同时，可以求得备件需求率数据，如表4所示。

表3　备件需求量本文模型计算结果Tab.3 The resu1ts of ca1cu1ating spare parts demand vo1ume based on the proposed mode1

表4　备件需求率本文模型计算结果Tab.4 The resu1ts of ca1cu1ating spare parts demand rate based on the proposed mode1　a-1

表5　备件保障费用本文模型计算结果Tab.5 The resu1ts of ca1cu1ating spare parts cost based on the proposed mode1　元

4.1.3计算装备寿命周期备件保障费用

在计算备件需求量的基础上，根据备件单价，可以计算获得整个装备寿命周期内的备件保障费用，如表5所示。

4.2用传统模型计算

如果存在预防性维修工作，传统的备件需求量计算方法是分别计算修复性维修和预防性维修的备件需求量，然后再简单求和，其计算公式为

已知备件的寿命服从威布尔分布，以及各备件的预防更换间隔期，由（10）式可得

根据（11）式求得备件需求量和需求率的结果分别见表6和表7.根据表6计算可得装备寿命周期备件保障费用，如表8所示。

表6　备件需求量传统模型计算结果Tab.6 The resu1ts of ca1cu1ating spare parts demand vo1ume based on the traditiona1 mode1

表7　备件需求率传统模型计算结果Tab.7 The resu1ts of ca1cu1ating spare parts demand rate based on the traditiona1 mode1　a-1

表8　备件保障费用传统模型计算结果Tab.8 The resu1ts of ca1cu1ating spare parts cost based on the traditiona1 mode1　元

4.3计算结果分析

通过上述实例分析，可进一步将表4和表7备件需求率的计算结果进行对比分析，如图2所示；将表5和表8装备寿命周期备件保障费用进行对比分析，如图3所示。由图2和图3可以看出，本文所示算例的传统模型计算结果与考虑预防性维修影响计算结果相比，误差达到了39.69%.充分表明了备件需求量计算必须充分考虑预防性维修的影响，传统模型存在很大误差，本文提出的预防性维修策略下备件需求量计算模型，能够显著提高备件需求量计算的准确性。

此外，考虑预防性维修的备件需求量计算模型可以用于装备寿命周期各个阶段的备件需求量计算，特别是在装备寿命周期早期环节，在缺乏备件历史消耗数据的情况下，能够根据装备可靠性维修性保障性设计与分析数据准确计算备件需求量。

图2　备件需求率计算结果对比分析Fig.2 Comparative ana1ysis of ca1cu1ated spare parts demand rates

图3　备件保障费用计算结果对比分析Fig.3 Comparative ana1ysis of ca1cu1ated spare parts costs

5 结论

备件需求量计算是备件管理的基础性工作，本文以工龄更换维修策略为例，研究建立了考虑预防性维修的备件需求量计算模型。采用离散法研究探讨了模型的求解算法，本文对建模过程和模型求解方法进行了详细描述。最后，采用本文建立的模型，以具体算例对模型进行了应用和验证，并与传统模型进行了对比分析。研究结果表明：本文提出的预防性维修策略下备件需求量计算模型与传统模型相比，能够显著提高备件需求量计算的准确性。然而，本文所建立的模型仅考虑了工龄更换维修策略，有待考虑成组更换、状态维修等更多维修策略下备件需求量计算建模，这也正是下一步的研究工作。

（References）

［2］Hu Q，Bai Y，Zhao J，et a1.Mode1ing spare parts demands forecast under two-dimensiona1 preventive maintenance po1icy［J］. Mathematica1 Prob1ems in Fngineering，2015，2015：1-9.

［2］Croston J D.Forecasting and stock contro1 for intermittent demands ［J］.Operationa1 Research Quarter1y，1972，23（3）：289-303.

［3］Rao A V.A comment on：forecasting and stock contro1 for intermittent demands［J］.Journa1 of the Operationa1 Research Society，1973，24（4）：639-640.

［4］Syntetos A A，Boy1an J F.On the bias of intermittent demand estimates［J］.Internationa1 Journa1 of Production Fconomics，2001，71（1）：457-466.

［5］Syntetos A A，Boy1an J F.The accuracy of intermittent demand estimates［J］.Internationa1 Journa1 of Forecasting，2005，21（2）：303-314.

［6］赵建忠，徐廷学，刘勇，等.基于粗糙集和熵权以及改进支持向量机的导弹备件消耗预测［J］.兵工学报，2012，33（10）：1258-1265. ZHAO Jian-zhong，XU Ting-xue，LIU Yong，et a1.Consumption forecasting of missi1e spare parts based on rough set，entropy weight and improved SVM［J］.Acta Armamentarii，2012，33（10）：1258-1265.（in Chinese）

［7］Stevenson W J.Operations management：theory and practice［M］. New York，NY：McGraw-Hi11 Irwin，2012.

［8］赵宇，伏洪勇，张坚，等.航空电子设备备件需求量分析［J］.系统工程与电子技术，2002，24（3）：1-3. ZHAO Yu，FU Hong-yong，ZHANG Jian，et a1.Demand ana1ysis of the spare parts of avionic devices［J］.Systems Fngineering and F1ectronics，2002，24（3）：1-3.（in Chinese）

［9］Mani V，Sarma V V S.Queuing network mode1s for aircraft avai1abi1ity and spares management［J］.IFFF Transactions on Re1iabi1ity， 1984，33（3）：257-262.

［10］陶小创，郭霖瀚，肖波平，等.基于备件保障概率分配的备件需求量预测模型［J］.兵工学报，2012，33（8）：975-979. TAO Xiao-chuang，GUO Lin-han，XIAO Bo-ping，et a1.Demand prediction mode1 for spare parts based on fi11 rate a11ocation［J］.Acta Armamentarii，2012，33（8）：975-979.（in Chinese）

［11］Gross D，Mi11er D，So1and R.On some common interests among re1iabi1ity，inventory and queuing［J］.IFFF Transactions on Re1iabi1ity，1985，34（3）：204-208.

［12］刘天华，张志华，梁胜杰，等.一种Weibu11型备件需求量的改进算法［J］.系统工程理论与实践，2012，32（5）：1124-1128. LIU Tian-hua，ZHANG Zhi-hua，LIANG Sheng-jie，et a1.An improved method for the spare demand of the Weibu11-distribution［J］. Systems Fngineering Theory and Practice，2012，32（5）：1124-1128. （in Chinese）

［13］Wong J Y F，Chung D W C，Ngai B M T，et a1.Fva1uation of spares requirements using statistica1 and probabi1ity ana1ysis techniques［J］. Transactions of the Institution of Fngineers，Austra1ia.Mechanica1 engineering，1997，22（3/4）：77-83.

［14］Kumar U D，Knezevic J.Avai1abi1ity based spare optimization using renewa1 process［J］.Re1iabi1ity Fngineering&System Safety，1998，59（2）：217-223.

［15］Sheikh A K，Younas M，Raouf A.Re1iabi1ity based spare parts forecasting and procurement strategies［M］∥Ben-Daya M，Duffuaa S O，Raouf A.Maintenance，mode1ing and optimization.New York，NY：Springer US，2000：81-110.

［16］贾希胜.以可靠性为中心的维修决策模型［M］.北京：国防工业出版社，2007. JIA Xi-sheng.The decision mode1s for re1iabi1ity centered maintenance［M］.Beijing：Nationa1 Defense Industry Press，2007.（in Chinese）

A Model of Calculating Spare Parts Demand Volume by Considering Preventive Maintenance

HU Qi-wei1，JIA Xi-sheng2，ZHAO Jian-min1
（1.Department of Fquipment Command and Management，Ordnance Fngineering Co11ege，Shijiazhuang 050003，Hebei，China；2.Department of Training，Ordnance Fngineering Co11ege，Shijiazhuang 050003，Hebei，China）

Spare parts are the materia1 basis of equipment operation and maintenance，and spare parts procurement usua11y takes a 1arge share of equipment 1ifecyc1e cost.The traditiona1 methods of ca1cu1ating the spare parts demand vo1ume on1y consider the requirements of corrective maintenance，and cannot be used to ca1cu1ate the spare parts demand vo1ume by considering preventive maintenance.A mode1 of ca1-cu1ating the spare parts demand vo1ume based on age rep1acement po1icy is proposed.A discrete a1gorithm for the mode1 is presented.An examp1e ana1ysis is carried out to verify the app1icabi1ity and effectiveness of the proposed mode1.The proposed mode1 is compared with traditiona1 ca1cu1ation mode1.The research resu1ts show that the proposed mode1 can be used to improve the accuracy of ca1cu1ating the spare parts demand vo1ume.It can be a1so used to ca1cu1ate the spare parts demand vo1ume for any 1ong p1anning horizon and ana1yze the spare parts cost in equipment 1ifecyc1e process.

ordnance science and techno1ogy；spare part；demand forecasting；preventive maintenance； age rep1acement

TJ07

A

1000-1093（2016）05-0916-07

10.3969/j.issn.1000-1093.2016.05.020

2016-02-20

国家部委科研基金项目（9140A27040314JB34452）

胡起伟（1979—），男，讲师。F-mai1：h_q_w@sina.com