铯原子喷泉钟Rabi和Ramsey牵引频移的理论研究

施俊如，阮军,2，管勇，王心亮，刘丹丹，林睿，张辉,2，陈江，余凤翔，张首刚,2



铯原子喷泉钟Rabi和Ramsey牵引频移的理论研究

施俊如1,2,3，阮军1,2，管勇1,2,3，王心亮1,2,3，刘丹丹1,2,3，林睿1,2,3，张辉1,2，陈江1,2,3，余凤翔1,2,3，张首刚1,2

（1. 中国科学院 国家授时中心，西安710600；2. 中国科学院 时间频率基准重点实验室，西安710600；3. 中国科学院大学，北京100049）

Rabi和Ramsey牵引效应是影响铯原子喷泉钟频率不确定度的重要因素之一。构建了铯原子喷泉钟中微波腔的辐射场与冷原子团相互作用的物理模型，获得了原子—辐射场哈密顿量和时间演化算符。通过数值求解时间演化算符的薛定谔方程，用蒙特卡洛方法模拟原子团速度和密度的二维分布，获得了钟跃迁概率和Rabi和Ramsey频移，并对频移量与初始原子|3，±1>态对称性、|3，0>与|3，±1>态相干和相干相位的关系进行了理论分析，应用于铯原子喷泉钟得到Ramsey腔微波脉冲面积是7π/2时非相干和相干初始原子态对应Rabi和Ramsey牵引频移量级分别为10-18和10-14，且频移量与相干相位呈三角函数关系，与PTB评定该项频移得到的理论及实验结果一致。

Rabi和Ramsey牵引频移；初始原子相干态；铯原子喷泉钟；频率不确定度

0 引言

铯原子喷泉钟是复现秒定义的基准钟，即“1秒等于无干扰铯原子基态超精细能级|3，0>→|4，0>跃迁辐射周期的9 192 631 770倍的持续时间”[1]，是目前频率不确定度最高的原子钟。铯原子喷泉钟以冷原子样品为鉴频介质，通过原子样品上抛、自由下落两次与微波场相互作用的方式获得误差控制信号，伺服控制馈入微波腔的频率在冷原子样品的谐振频率上，冷原子样品的谐振频率与“秒”单位所定义的频率值并不相等，在外部环境（引力场、电磁场等）作用下，内部原子相互作用（如碰撞），原子样品的跃迁频率偏离了定义值，这些偏移量称为“频移”。

引起铯原子喷泉钟频移的偏差源主要有[2]：二级塞曼频移、黑体辐射频移、冷原子碰撞频移、Rabi和Ramsey牵引频移、腔相位分布频移、引力红移、腔牵引频移、二阶多普勒频移、微波泄漏和微波功率频移等。其中Rabi和Ramsey牵引频移量虽然较小，但仍然是频率不确定评定中不可或缺的一项。首先对铯束原子钟研究了该项频移[3-5]，但是铯原子喷泉钟的工作原理与铯束钟不同，Rabi和Ramsey频移的相关理论和评定方法也不一样。2014年德国联邦物理技术研究院首先对铯喷泉钟的Rabi和Ramsey频移进行了研究，发现在冷原子云高斯半径为=4.0×10-4m，温度为at=1.6×10-6K，静磁场为z=150nT的条件下，理论计算得到1%原子数非相干不对称布居引起的Rabi和Ramsey牵引频移是5×10-18，而实验测得在铯喷泉钟正常工作状态下的Rabi和Ramsey牵引频移是1.25×10-18[6]。

本文介绍了铯原子喷泉钟NTSC-F1的Rabi和Ramsey牵引频移的理论研究结果。不同于PTB通过诺依曼方程直接计算密度矩阵演化，我们通过求解时间演化算符的数值解，并将其作用于初态原子的方法来获得原子的跃迁概率，这种方法不但可以节省计算时间，且便于通过改变不同初始态原子分布情况得到原子Rabi和Ramsey牵引频移，同时获得了Rabi和Ramsey牵引频移与初始态原子布居数对称性、相干相位的关系[7]。

1 Rabi和Ramsey牵引频移

在外磁场B作用下铯原子基态两个超精细能级分别分裂成7个和9个子能级，其中m=±1子能级距离钟跃迁（即0—0跃迁，对应频率为9 192 631 770 Hz）能级最近，其他子能级跃迁的影响可以忽略不计，因此只考虑如图1所示的6个能级。当原子与谐振微波相互作用时，除了0—0之间的共振跃迁，0—±1，1—1，-1—-1非共振跃迁也会发生，由于光学探测方法只能探测=4态原子，无法区分m= -1，0，1态，因此非钟跃迁信号也会叠加到钟跃迁信号上引起钟跃迁频移。如果初始原子|3，±1>态非对称布居时，由平行于静磁场的纵向微波磁场作用产生的两条Δm=0的π跃迁，即钟跃迁左右邻近|3，±1>—|4，±1>跃迁谱线不对称，导致Rabi牵引频移[5]。同理，由于垂直于静磁场的横向微波磁场作用，产生4条Δm=±1的跃迁，如果钟跃迁左右邻近|3，±1>—|4，0>跃迁谱线或|3，0>—|4，±1>跃迁谱线不对称，导致Ramsey牵引频移[3]。

图1 铯原子基态超精细结构的6个能级

2 Rabi和Ramsey牵引频移的理论模型

2.1 微波腔内辐射场分布

铯原子喷泉钟包括两个相同的圆柱形微波腔：①选态腔；②Ramsey腔。选态腔提供π微波脉冲信号，激励原子实现基态能级之间的跃迁：=4→=3；Ramsey腔提供π/2微波脉冲信号，铯原子上抛、下落两次通过Ramsey腔，铯原子完成Ramsey跃迁：= 3→=4。以柱形腔中心为坐标原点，竖直向上为轴正方向，在此柱坐标系下TE011模的微波磁场分量的分布情况如下所示：

表1 铯原子微波腔参数 mm

2.2 六能级铯原子系统Ramsey跃迁原理

图2 铯原子喷泉钟时序图

在耦合表象|，m>下，通过幺正变换使得|4，0>→|3，0>的能级跃迁频率变为0参考点，幺正算符矩阵元<，m||，m>如下[6]：

，

，

，

。

由薛定谔方程可得时间演化算符的微分方程

结合Ramsey腔和自由飞行区对应哈密顿矩阵表达式，可计算出第一、二次在Ramsey腔和自由飞行区的时间演化算符矩阵表达式分别为，，。其中的表达式如式（6）所示，自由演化时间内的相位变化加载在了其中。

设初态原子密度矩阵分布为

。 （7）

考虑原子热运动速度呈麦克斯韦速度分布，水平二维原子团呈高斯分布，应用于铯原子喷泉钟，冷原子温度=5μK，上抛时原子团初始高斯半径1.5mm，原子初始|3，±1>态对称分布，布居数均占全体原子数的2%，剩下96%分布于|3，0>态，且非相干布居，取= 100组分别满足麦克斯韦速度分布和高斯分布的随机数，计算每组随机数对应函数值，对个函数值取平均即可求得考虑了原子速度和位置分布的原子跃迁概率：。得到铯原子喷泉钟跃迁概率关于微波失谐的关系[9]，如图3所示。铯原子喷泉钟实验参数列于表2。

图3 六能级铯原子喷泉钟跃迁信号

表2 铯原子喷泉钟实验参数

2.3 Rabi和Ramsey牵引频移

根据上面求得的钟跃迁概率与失谐的关系，通过以下频移公式求得钟Rabi和Ramsey牵引频移[6]

3 Rabi和Ramsey牵引频移与初态原子布居关系

通过改变初始条件，即初态原子密度矩阵分布表达式（7）中的各个参数，由频移公式（8）可得频移与初态原子布居的关系。如果初态原子|3，0>与|3，±1>态相干布居，Rabi和Ramsey牵引频移量与相干相位和|3，±1>态布居非对称大小有关；如果初态原子|3，0>与|3，±1>态非相干布居，Rabi和Ramsey牵引频移量与|3，±1>态布居非对称大小有关。但是如果初态原子|3，1>与|3，-1>态对称布居，Rabi和Ramsey牵引效应会互相抵消，对应频移量为零。下面研究不同初始态原子布居对频移的影响并进行理论计算。

3.1 Rabi和Ramsey牵引频移与初态相干原子非对称布居相干相位的关系

将激励腔微波脉冲功率从π/2增加到7π/2以此提高钟跃迁附近的跃迁，使得频移量级增加便于实验观察研究。如果初始态原子相干布居，且|3，1>态布居数为1%，|3，0>态布居数为99%，其他态布居数均为0时，可通过频移公式（8）求得频移与初始原子相干相位的关系，呈三角函数关系，频移量最大处为2.4×10-14（图4所示）。PTB通过选用9π选态腔和7π/2激励腔微波脉冲，实验测得Rabi和Ramsey牵引频移与选态腔频率失谐，选态腔与Ramsey腔之间的静磁场和推光与原子相互作用时间，这3者之间均呈三角函数关系，量级是10-14 [6]，且这3个量的改变等价于相干相位的改变，因此本文的理论计算结果与之符合。

图4 频移量与相干相位关系

3.2 Rabi和Ramsey牵引频移与初态原子布居对称性关系

以下分别研究了Ramsey腔微波功率是π/2时的Rabi和Ramsey牵引频移与相干和非相干初态原子布居对称性的关系：

①相干：当初始原子|3，±1>态与|3，0>态相干且非对称布居，对应密度矩阵= 1，= 1%，= 0，且相干相位= 0时，计算得到频移量为-1.68×10-15。改变|3，1>态布居数，以步进1%从0均匀增加到10%，其他参数保持不变，得到11组对应频移量，画出了频移量与|3，±1>态相干布居不对称性的关系，如图5所示。由于相干项的影响，使得频移增大，与|3，±1>态布居数差呈开平方关系。

图5 频移量与|3，±1>态相干布居不对称性关系

同时改变初始相干原子|3，±1>态布居数，并保持布居数相差1%，求得各态布居数从1%和0以步进1%分别增加到10%和9%所对应的频移量，得到布居数差保持不变情况下的相干频移与|3，1>态布居数的关系，如图6所示。可以看出|3，±1>态布居数在一定范围内同时增加，由于相干项和的共同作用，使得部分频移量互相抵消，而总频移减小。

图6 频移量与|3，1>态布居数关系（|3，±1>态布居数差保持1%）

②非相干：设初始非相干原子|3，1>态布居数为1%，|3，0>态布居数为99%，其他态布居数均为0，即对应密度矩阵中=0，=0.25%，=0，求得Rabi和Ramsey牵引频移3.80×10-18，相对初始原子相干布居频移量减小了3个量级[10]。改变|3，1>态布居数，以步进1%从0增加到10%，剩下所有态处于|3，0>态，得到11组对应频移量，画出了频移与|3，±1>态布居不对称性的关系图，如图7所示。可以看出频移量与|3，±1>态布居数不对称性呈线性增加关系，斜率为4.27×10-18。

图7 频移量与|3，±1>态非相干布居不对称性关系

同时改变初始原子|3，±1>态布居数，并保持布居数相差1%，各态布居数从1%和0以步进1%分别增加到10%和9%，得到10组对应频移，画出|3，±1>态布居数差不变的情况下的频移与|3，1>态布居数的关系图，如图8所示。可以看出频移量随|3，1>态布居数十分缓慢地变化，频移处于3.8×10-18和4.65×10-18之间。

图8 频移量与|3，1>态布居数关系（|3，±1>态布居数差保持1%）

4 总结

综上所述可以总结得到频移与初态原子布居对称性、相干性和相干相位的关系式为：

下一步将在NTSC-F1喷泉钟上通过实验对上述结果进行验证，评估物理模型和计算方法的正确性，同时利用该结果给出NTSC-F1在实际工作条件下的Rabi和Ramsey牵引频移和不确定度。

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Theoretical study of Rabi and Ramsey frequency pulling shift in Cesium fountain clock

SHI Jun-ru1,2,3, RUAN Jun1,2, GUAN Yong1,2,3, WANG Xin-liang1,2,3, LIU Dan-dan1,2,3, LIN Rui1,2,3, ZHANG Hui1,2, CHEN Jiang1,2,3, YU Feng-xiang1,2,3, ZHANG Shou-gang1,2

(1. National Time Service Center, Chinese Academy of Sciences, Xi’an 710600, China;2. Key Laboratory of Time and Frequency Primary Standards, Chinese Academy of Sciences, Xi’an 710600, China;3. University of Chinese Academy of Sciences, Beijing 100049, China)

Rabi and Ramsey frequency pulling effect is one of the important factors, which influence the uncertainties in the Cesium fountain clock. This paper builds a physical model that describes the interaction between radiation field and cold atom molasses in the Cesium fountain clock’s microwave cavities, also gets the Hamiltonian and time evolution operator for the interaction between atom and radiation field. By solving the time evolution operator’s Schrodinger equation numerically and using Monte Carlo to simulate the two dimensional distribution of atoms’ velocity and density, we got the transition probability and the Rabi and Ramsey frequency shift for the clock. We also theoretically analyzed the relation between the frequency shift and the initial atomic symmetry between |3，±1> states, the coherence between |3，0> and |3，±1> states,the coherent phase, obtaining the related functional relations. Applying to the Cesium fountain clock, we obtained that the magnitudes of Rabi and Ramsey frequency pulling shift for initial atomic coherence or incoherence are 10-18or 10-14respectively when the microwave pulse area in the Ramsey cavity is 7π/2, and also obtained that the frequency shift varies with the coherent phase as a trigonometric function, which coincide with PTB’s theoretical and experimental result in evaluating this frequency shift.

Rabi and Ramsey frequency pulling shift; initial atomic coherences; cesium fountain clock; frequency uncertainty

TM935.11+5

A

1674-0637(2016)04-0255-11

10.13875/j.issn.1674-0637.2016-04-0255-11

2016-01-18

国家自然科学基金资助项目（61127901）

施俊如，女，硕士研究生，主要从事铯原子喷泉钟的研究。