浅谈高中数学中的数学文化教学

刘忠

《普通高中数学课程标准（实验）》指出：“数学课程应适当介绍数学的历史、应用和发展趋势，数学对推动社会发展的作用，数学的社会需求，数学科学的思想体系，数学的美学价值，数学家的创新精神。”

在高中教学中，由于受应试教育的影响，不少师生认为，学数学的目的只是为了高考考高分、上好大学。为了让学生能考到高分、上好的大学，不少教师也是蛮拼的：要求学生背题型，以便学生解题时“按图索骥”；要求学生记解题技巧，学生解题时不假思索；要求学生进行魔鬼训练，于学生解题时熟能生巧。这种扼杀学生学习的热情、将美好的数学妖魔化的杀鸡取卵的做法有时也确实取得了一些“效果”——部分学生得到了高分，但这种不重视数学人文精神，不呵护学生学习积极性，不注重数学知识的发生与发展，不通过数学教学培养学生的数学思维形成数学思想的做法，必定使学生对数学知识和数学的作用不理解，从而使他们对数学产生厌恶感和恐惧感。更为严重的是，会使一部分学生发誓高考后再也不碰数学了，教师也就真正成了使学生学习数学的兴趣丧失殆尽的罪魁祸首！

虽然高中阶段，学生学习数学的主要目的确实是提高数学成绩，但教师的做法不能违背数学教育的目的，不能“近视”，要着眼于学生的长远发展。因为学生高中毕业后未必都从事数学方面的工作，因此在高中阶段教师要让学生真正体会到数学的内涵、精髓和魅力，真正感觉到数学文化的巨大作用，真正学会数学思维、形成数学思想。日本学者米山国藏说得好：“在学校学的许多数学知识，如果毕业后没有机会去用的话，不到一两年就会忘掉。然而，唯有深深铭刻在头脑中的数学的精神、思维方法、研究方法、推理方法和着眼点等，会随时随地发生作用，使他们终身受益。”也就是说，在一定意义上数学文化比数学本身更重要。

一、北师大版高中《数学》教科书中的数学文化

北师大版高中《数学》教科书是非常重视数学文化的。编者通过正文、例题、章首语、彩页（插图）、阅读材料、小资料、课题学习、探究活动等将数学发展史、数学家及其贡献、数学应用、数学名题、数学美等予以展现，具体地表现在：

1.数学的起源与发展有：函数概念的发展、弧度概念的引入、数系的扩充。历史上数学计算方法的三大发明（阿拉伯数字、十进制和对数）、算法的发展（第一个算学家是刘徽，第二个算学家是祖冲之）、统计小史等。

2.数学家及其贡献有：康托与集合论、笛卡尔与解析几何、海伦公式与秦九韶三斜求积术、赵爽勾股圆方图、米索不达米亚开方、哥德巴赫猜想、欧拉公式、斐波那契数列、伽罗瓦简介、高斯简介、人的潜能——Dantzig的故事等。

3.数学应用有：生活中的映射（既是同一种血型又具有相同的指纹和手纹的人“几乎”是唯一的，这样就找到了从特征到人之间的一一映射）、放射性物质的衰减现象研究、存款模型（零存整取，定期自动转存，分期付款）、大数的故事（棋盘上的学问，64片金片在三根金针上移动的寓言）、个人所得税计算（2000年江西天津高考第6题）、函数建模案例、数学与音乐、选举的预测、CT扫描和核磁共振、提丢斯根据太阳系中行星到太阳的距离规律探明了一些新的行星（或小行星）、“二战”期间盟军获取德军的坦克数的方法、随机与保险等。

4.数学名题有：“韩信点兵”问题，物不知数，百鸡问题。科学家富兰克林遗产分配方案可行吗？

5.数学美有：射影几何、微分几何、分形几何图形欣赏，水立方、碳60分子结构、圆锥曲线的形成等。

二、教学中如何进行数学文化教学

1.教师要有丰富的数学文化知识

教师的数学文化知识从何处来？从有关著作和文章中来！在中国，“数学文化”从提出到重视经历了十多年的历程，已大致形成了体系。有关数学文化的著作有：克莱因的《古今数学思想》《西方文化中的数学》，邓东皋、孙小礼和张祖贵合编的《数学与文化》，顾沛的《数学文化》，齐民友的《数学与文化》，郑毓信的《数学文化学》，还有笔者的《中学数学文化》（2010年江西教育出版社出版）等等。

2.教师要有传授数学文化的意识

教师有数学文化知识还要会去传授！数学文化内容大多数不在正文，而在章首语、彩页（插图）、阅读材料、小资料、课题学习、探究活动等栏目中，而且平常的各种考试涉及较少，所以，教师们基本不讲。那么用什么方法，通过什么途径去传授呢？开选修课行吗？笔者曾经进行过“高中新课程‘数学文化选修课开设的实验研究”，通过实验，笔者得出的结论是：在我们学校（或类似学校）想通过开设“数学文化”选修课来向学生传授数学文化是不合适的，因为学生只为高考学数学。比较好的方法还是科任教师在课堂上进行数学文化的渗透，当遇到有关数学文化内容（即使是章首语、阅读材料、课题学习等中的内容）时不仅不能绕道而行，而且要有意识地强化。如讲等差数列求和公式时就可以用课本上介绍的数学家高斯和高斯法；讲到斐波那契数列时，除将它的通项公式进行推导外，还要介绍它的其他性质。笔者在讲授必修3“算法的基本思想”中的例4：“韩信点兵”问题时，首先是介绍了韩信及其成就，然后在此基础上详细讲解了我国明朝数学家程大位对这道名题的解法：“三人同行七十稀，五树梅花廿一枝。七子团圆正月半，除百零五便得知。”虽然用了不少时间，但笔者感觉很值得。

“兴趣是最好的老师。”学生学习数学的兴趣从何而来？教师不是简单地对学生说“你们要对数学感兴趣！”学生就会感兴趣，而是要“细雨湿身看不见，闲花落地听无声”，在教学中对学生进行熏陶，在潜移默化中达到目的。

3.教师传授数学文化的一些具体做法

（1）教师的教学要重视科学人文精神

数学是训练思维能力特别是逻辑思维能力的科学，虽然也有其他学科或方式可培养人的思维能力，但在深度、广度、系统性等方面都无法与数学相比。由于在数学学习的过程中，观察、比较、类比、猜想、抽象、归纳、概括等各种思维形式都在发挥作用，因此数学教育的“育人功能”也就在不知不觉中产生。endprint

就数学学习而言，不少学生的学习成绩不理想，通常不是智力问题，而是非智力问题。动机、兴趣、情感、意志和性格等在学习过程中始终发挥着动力、导向、引导、维持和强化等一系列相互联系着的作用。

数学的“育人功能”越来越受到教育主管部门和广大教育工作者的重视。我国的数学教育从重视“双基（重视基础知识和基本技能）”，到“双基”与“三能力（计算能力、逻辑推理能力和空间想象能力）”并重，再到“四基（基础知识、基本技能、基本思想和基本活动经验）”、“五能力（空间想象能力、抽象概括能力、推理论证能力、运算求解和数据处理能力）”和数学的理性精神、美学意义及树立辩证唯物主义和历史唯物主义世界观的重视，标志着数学教育观的不断发展与变革。所以，教师在教学上不能简单地认为“数学=逻辑”，要重视学生的情感、态度和价值观。

（2）教师的教学要有充足的“文化味”

①多用些记忆的口诀

正如乘法口诀“三七二十一”一样，它表示的是三乘以七的结果，如果没记住而临时来推导那显然是不行的。高中数学中也有很多要记忆的公式定理，如果都能像“奇变偶不变，符号看象限”一样来记，那想忘记都难。因此我们要多编些口诀来帮助学生理解和记忆。“集合元素三特性，互异无序确定性；集合元素尽相同，两个集合才相同。”“0 和空集不相同，正确区分才成功；运算如果有难处，文氏图儿来相助。”“角度弧度周角量，换算关系找到了，扇形看作三角形，面积公式简化了。”等就是时今最流行的高中数学口诀。

②多作些形象的比喻

③多引用些名句和名诗词

数学本来就有诗情画意！著名数学家华罗庚对数形结合的思想方法用一首诗作了精彩描述：“数缺形时少知觉，形少数时难入微。数形结合百般好，割裂分家万事非。”

由张景中院士与李尚志教授等主编的湘教版《普通高中课程标准实验教科书——数学》，每一章都有“章首诗”，如：“锥顶柱身立海天，高低大小也浑然。平行垂直皆风景，有角有棱足壮观。”“玉兔子孙世代传，棋盘麦塔上摩天。坛坛罐罐求堆垛，步步为营算连环。”后一首诗介绍了历史上四个与数列有关的故事：“玉兔子孙”讲的是斐波那契数列；“棋盘麦塔”讲古印度国际象棋发明者向国王要奖赏的故事；堆垛连环都是中国古代数列问题。如果我们用这套教材，您会花时间去讲解吗？

近代中国著名学者王国维的治学三重境界：“昨夜西风凋碧树，独上高楼，望尽天涯路；衣带渐宽终不悔，为伊消得人憔悴；众里寻他千百度，蓦然回首，那人却在灯火阑珊处。”送给学生多好啊！2014年“北约”自主招生语文试题中还有一道据此作文的题呢。

对于周期函数的定义域，学生一般难搞懂定义域无界（不一定是实数集R，如正切函数）是什么意思，笔者用“前不见古人，后不见来者”来描述了。“三视图”是一个比较难懂的知识点，但高考必考。“三视图”是说，要了解一个几何体，必须从“正面”“侧面”“上面”三个不同的角度去看，因此教师可用苏轼浏览庐山时写下的脍炙人口的诗句“横看成岭侧成峰，远近高低各不同。不识庐山真面目，只缘身在此山中”来描述。“孤帆远影碧空尽，惟见长江天际流”体现了极限（或无限）的意境，让人们体会到一个变量趋向于无穷的动态意境。

④多一些风趣和幽默

“没有幽默就没有生活！”古希腊哲学家芝诺的学生问他：“老师，难道你有不懂得的东西吗？”芝诺风趣地回答：“如果用小圆代表你们学到的知识，用大圆代表我学到的知识，那么大圆的面积是多一点；但两圆之外的空白，都是我们的无知面，圆越大，其圆周接触的无知面就越多。”回答令人拍案叫绝！

俄国大文豪列夫·托尔斯泰以奇妙的等式启迪人们谦虚好学，他说：“一个人就好像分数，他的实际才能好比分子，而对自己的估价好比分母。分母愈大，则分数的值就愈小。”

还是前面不等式解集的写法问题，有一个同学在我做了“上卫生间”的比喻后还写错，我就问他：“某某同学，你是男生还是女生？”学生哄堂大笑。其实这也是分类讨论思想，结果要按自己的性别来定，是男性就回答男生，是女性就回答女生，总不能说自己是男女生吧？这种幽默有助于同学们对知识的理解。

还有一种幽默就是语言幽默。教师妙语连珠、风趣幽默，学生必定精神振奋、困倦全无。遇到字写得差的学生，可以说：你的字写得很流畅，好像是怀体，怀素比较有名，因为他发明了狂草；对于解选择填空题，要注意特殊解法，可以说：你不会做，但可以对，这一点也不矛盾；针对易错题学生做错的情况，可以说：这道题很经典，因为，它不难却杀倒一大片；针对考试时发挥不好的学生，可以说：我们不要用最短的时间去做错所有会做的题，再用大量时间去做不会做的题等等。

⑤适当穿插数学谜语、对联

高中数学谜语如：查帐（谜底：对数）；剑穿楚霸王（谜底：通项），待命（谜底：等差[谐音]）；小乔 （谜底：周期[谐音]）；竞赛前夕 （谜底：等比）； 你盼着我，我盼着你（谜底：相等）；五角钱一趟（谜底：一元二次）；等等。

数学对联中，有很多名联，数学家华罗庚的“三强韩赵魏，九章勾股弦”乃绝对！黄鹤楼之数学联：“六千年数学，旷世传来，想初等代数，解析几何，集合理论，积分方程，何其博大精深，极目古今悠，莫惊疑数海茫茫，形山隐隐；一万里长江，几人淘尽，仰割圆刘徽，算率冲之，流数牛顿，过桥欧拉，真是超凡入圣，放怀天地阔，须礼赞勋名赫赫，伟业煌煌。”“爱情如几何曲线；幸福似小数循环”“七桥岛上云追月，四色图中蝶恋花”“有理函数涵百福，无穷集合集千祥”“花甲重开，外加三七岁月；古稀双庆，内多一个春秋”等等。

教学中，当讲解有关内容时穿插这些数学谜语或对联，一是可以活跃课堂气氛，使学生对这些知识和方法的学习更感兴趣；再者，由于这些谜语和对联都包含很多知识、典故，学生要弄懂这些谜语和对联就必须先了解相关知识和典故，整个过程无形中扩大了学生的知识面，使学生徜徉在数学文化的海洋中。endprint

⑥适当应用几何画板（数学软件）

信息化社会必定离不开数学教与学的信息化，“高中数学课程应提倡利用信息技术来呈现以往教学中难以呈现的课程内容”。被称为21世纪的动态几何软件——几何画板，就是一种师生都应学习和使用的数学软件，它的最大特点是提供了一个探索几何图形内在关系的环境，它能把较为抽象的几何图形形象化、“动态化”。例如，我们可以借助它画出y=Asin（ωx+φ）的图像，并通过设置动画，观察参数A，ω，φ变化对函数图像的影响。几何画板的可“动态化”特点，还让我们可以进行数学实验。笔者就通过实验发现了《中学数学教学参考》2013年第10期（上旬）刊载的《一对形似质异问题的辨析》中的一道试题的错误。

数学课件发展到今天已不再是只当幻灯片用了，本人认为没有使用几何画板的数学课件是很难达到好效果的。因此在数学教学中善于使用它，一是为教学提供方便，二是对学生耳濡目染。

三、教学中如何进行高考数学文化试题的教学

早在2004年，重庆高考文科试题中就有这样一道题：“毛泽东在《送瘟神》中写道：‘坐地日行八万里。又知地球的体积大约是火星的8倍，则火星的大圆周长约为_______万里。”这可能是最早的高考数学文化试题。从此以后，各地高考数学题都慢慢地增加了数学文化方面的内容。目前，全国新课标卷、湖北卷等都有“依托数学史料，彰显数学文化”的鲜明特色，每年的高考卷中无论文科理科试卷，必有一道数学文化试题。例如，2015年高考新课标卷Ⅰ中就有这样一道题：“《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：‘今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺。问：积及为米几何？其意思为：‘在屋内墙角处堆放米[如图（图略），米堆为一个圆锥的四分之一]，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放斛的米约有（ ）A.14斛 B.22斛 C.36斛 D.66斛”。这些题都有这样一个特点：题目文字多；从内容来说，一是介绍有关的数学史料（数学家、数学名著等），二是介绍原题（文言文），三才是我们一般意义的考试题。从学生答题的角度来讲，只要看全题的第三部分就行，但命题者之所以增加篇幅阐述前两部分，就是为了使学生了解数学历史、向学生传播数学文化。有些人说，学数学是为了高考。现在我们可以看到了，即使只从高考能考高分的角度来讲，我们也要重视数学文化、重视数学文化试题的研究。这正是高考指挥棒的作用，是高考数学教育改革要我们这样做。

高考数学文化试题如何教学呢？除了按一般试题进行教学外，还要让学生知道，高考数学中的数学文化试题，相当于语文卷中的阅读理解题，对题意阅读理解后就不难了。为了消除恐惧感，要告诉学生这类题的题型结构和解题思路，多编制或搜集一些这方面的题让学生平常练习，这样，到考试时学生不仅不恐惧，反而会感到很高兴！

（作者单位：江西省永丰中学）

责任编辑 喻汉林

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