机床无刷直流电机系统的分岔分析与控制*

张中华 付景超 邓冠男

（东北电力大学理学院，吉林 132012）

机床无刷直流电机系统的分岔分析与控制*

张中华 付景超 邓冠男

（东北电力大学理学院，吉林 132012）

文章主要研究了机床无刷直流电机系统的Hopf分岔控制问题.首先，对系统进行分岔分析，通过计算极限环曲率系数判定系统的Hopf分岔类型；然后设计Washout滤波器对系统进行分岔控制，根据Hopf分岔理论给出使原系统Hopf分岔位置发生改变的参数条件，利用Normal Form方法计算出受控系统的Hopf分岔正规型，根据正规型的实部大小判定Hopf分岔类型，给出使原系统Hopf分岔类型发生改变的参数条件；并借助MATLAB软件对理论结果进行数值仿真，理论结果和数值仿真表明：控制器中的线性增益能使系统在所期望的参数值处发生Hopf分岔，甚至消除Hopf分岔，控制器中的非线性增益能改变原系统的Hopf分岔类型及极限环幅值的大小.研究结果对无刷直流电动机系统的工程实际具有一定的指导意义.

Hopf分岔，分岔控制，Washout滤波器，无刷直流电机

引言

无刷直流电动机系统是集永磁同步电机、位置检测元件和驱动控制电路于一体的机电一体化产品，它既具备交流电动机结构简单、运行可靠、维护方便等一系列优点，又具备直流电动机运行效率高、无励磁损耗等优点，在伺服和驱动系统中得到广泛应用.但在实际运行当中，在一定的参数条件下，系统会出现分岔行为，进而导致混沌运动，表现为电流波形出现不规则的电流噪声，电机转速忽大忽小，随机波动，电机运行性能不稳定等.这种混沌现象在机床，特别是在精密机床的传动系统中是不允许出现的，因此对直流电机系统分岔、混沌及其控制方面的研究一直备受关注.但到目前为止，大部分文献主要集中研究非线性动力系统的分岔行为及混沌控制问题［1-2］.文献［3］建立了无刷直流电机的等效无量纲模型，分析了模型解的稳定性情况.文献［4］在此基础上进一步研究了无刷直流电机的Hopf分岔行为和混沌现象，但没有进行这方面的控制.文献［5-7］在文献［3-4］的基础上分别采用不同的方法对无刷直流电机的混沌现象进行控制，从而保证了电机运行性能的稳定性.但对系统的分岔控制没有研究，分岔是导致混沌产生的一种途径，对系统进行分岔控制有时可避免混沌的产生，进而减少混沌对系统造成的危害.文献［8-10］利用这种方法对混沌系统进行了分岔控制.

基于上述原因，本文在文献［4］和文献［7］的基础上，对无刷直流电机系统的等效非线性数学模型进行研究，首先讨论系统的Hopf分岔类型，然后设计washout滤波器对系统的Hopf分岔行为进行控制，进而控制混沌的产生，保证电机运行性能稳定性.主要利用Hopf分岔理论及Normal Form直接方法，给出原系统Hopf分岔点提前、延迟或消失应满足的参数条件和原系统Hopf分岔类型发生改变应满足的参数条件，并借助MATLAB软件对理论结果进行数值仿真，分别给出控制前、控制后的分岔图以及分岔周期解振幅（极限环幅值）随参数变化的曲线图.通过理论及仿真结果说明控制器的有效性.

1 系统分岔分析

在转子磁场定向坐标系（d-q）中，由电压平衡方程和转矩平衡方程可得无刷直流电机状态方程为［2］

方程的状态变量为^x=［iq，id，ωr］T，其中，id，iq为定子电流矢量d，q的分量；vd，vq为定子电压矢量的d，q分量；φ为转子永磁磁链；Rs为定子电阻；np为极对数，J为转动惯量，b为阻尼系数；Te=np为电磁转矩；TL是负载转矩.假设电机系统气隙均匀，即有Ld=Lq=L此时对系统（1）做一个映射变换和一个单时间尺度变换

则系统（1）可写为如下简单形式

当ρ≤1时，系统（2）只有一个稳定平衡点O （0，0，0）；当ρ>1时，系统（2）有三个平衡点O（0，且平衡点O是不稳定的；当ρ=1时，系统（2）在平衡点O发生叉形分岔.

将式（3）代入式（2），得

相应的特征多项式为

因为ρ>1所以2σa2≠0，由Routh-Hurwtiz判据，特征根具有负实部的充要条件为

做变换

变换后系统（4）可化为如下规范形

经计算得β=0.001>0.这里β是系统的极限环曲率系数，当β>0时，系统发生亚临界Hopf分岔，当β<0时，系统发生超临界Hopf分岔.所以，系统的Hopf分岔类型为亚临界.综上讨论，可得如下结论

如取σ=4，则当1<ρ<16时，平衡点M+渐近稳定，如图1所示；当时，系统在平衡点M+处发生Hopf分岔.如图2所示（以下仿真图中各个量均为无量纲，具体含义见系统（2）中各参数的表达式.

图1 σ=4，ρ=10，系统（2）波形图Fig.1 Waveform chart of system（2）withσ=4，ρ=10

图2 σ=4，ρ=16时，系统（2）分岔图Fig.2 Bifurcation figure of system（2）withσ=4，ρ=16

2 系统Hopf分岔控制

取σ=4，用washout滤波器控制的等效无刷直流电机受控系统如下

x1为washout滤波器的输入变量，c为滤波器时间常数，c>0时，为稳定的washout滤波器，c<0时，为不稳定的washout滤波器，现取控制器>

x1，k2分别为线性和非线性控制增益.系统（8）的平衡点为，Washout滤波器没有改变原系统平衡点.在实际的控制器设计中，如果选择适当的k1，k2和c值，可得到所期望的分岔值，甚至可以消除原系统的Hopf分岔，使系统渐近稳定；也可以改变原系统Hopf分岔类型极限环幅值大小.

2.1 线性控制部分对Hopf分岔的影响

将受控系统的平衡点E+移到原点，做变换系统（8）变为

取c=1，矩阵B对应的线性化特征方程为

考虑方程

的根的情况，根据Routh-Hurwitz判据知，当满足

时，平衡点E+渐近稳定.

（1）.根据上面的条件，当ρ=16时，若k1满足k1<0，则系统（8）的平衡点E+渐近稳定，即原系统（2）的Hopf分岔行为消失，如图3所示.

（2）.当满足 Δ1>0，Δ2=0，8ρ-8>0时，即k11时，特征方程（11）有一对纯虚根，另外两根实部小于零.此时，系统（8）在平衡点E+处发生Hopf分岔.

图3 k1=-1，ρ=16时，系统（8）波形图Fig.3 Waveform chart of system（8）with k1=-1，ρ=16

图4 k1=-0.1，ρ=18.3368时，系统（8）分岔图Fig.4 Bifurcation figure of system（8）with k1=-0.1，ρ=18.3368

图5 k1=-0.1，ρ=18.3368时，系统（8）波形图Fig.5 Waveform chart of system（8）with k1=-0.1，ρ=18.3368

图6 k1=0.1时，ρ=13.9238时，系统（8）分岔图Fig.6 Bifurcation figure of system（8）with k1=0.1时，ρ=13.9238

要使系统（8）在分岔参数 ρ>16处发生Hopf分岔，k1需满足-216处发生 Hopf分岔，即原系统Hopf分岔被延迟，如图4所示.但此时的Hopf分岔类型未发生变化，系统产生增幅振荡，仍为亚临界Hopf分岔，如图5所示.

要使（8）在分岔参数ρ<16处发生Hopf分岔，k1需满足0

2.2 非线性控制部分对Hopf分岔的影响

当取c=1，k1=-0.1时，ρ=18.3368.方程（10）中的线性和非线性部分分别为

矩阵B有一对纯虚特征根λ1，2=±4.7683i，相应的

其他特征向量均具负实部.引入文献［11］中提出的计算Normal Form的直接方法，该方法在仅需知道系统零实部特征值及对应特征向量的情况下，引入特殊形式的非线性变换，不需要经过中心流形计算，即可求出系统的Normal Form.根据此方法，引入变换：

即可求得方程的Hopf分岔Normal Form

其中，C=<ψ，F21>，ψ满足（BT-4.7683iI）ψ=0 及<ψ，φ>=1，解得

将非线性变换（13）代入非线性项中整理成关于u，-u的多项式形式

其中，F21为对应的系数向量.

上式中，Hjk，m表示向量Hjk中的第m个元素.其中

I是与B同阶的矩阵.

由以上各式，计算C得

所以，受控制系统的Normal Form为

极限环的幅值近似解析解为

图7 当ρ=18.3368，k1=-0.1，k2=-1.5时，系统⑻极限环Fig.7 Limit cycles of system⑻withρ=18.3368，k1=-0.1，k2=-1.5

根据Hopf分岔理论知，当Re（C）<0，即k2<-0.347时，系统（8）在ρ=16处发生超临界Hopf分岔，即原系统Hopf分岔类型被改变，不稳定极限环变为稳定极限环，如图7-8所示.取k1=-0.1，将λ看成分岔参数ρ的函数，方程（11）两边同时对ρ求导，得

计算得

所以，当Re（C）<0时，Hopf分岔方向为ρ>16，如图9所示；受控系统的极限环幅控关系如图10所示.从图7，图8及图10中可知，控制器的非线性部分能改变原系统的Hopf分岔类型，并且分岔极限环幅值随着非线性控制参数的增大而增大，成正比关系.

图8 当ρ=18.3368，k1=-0.1，k2=-0.1时，系统⑻极限环Fig.8 Limit cycles of system⑻withρ=18.3368，k1=-0.1，k2=-0.1

图9 k1=-0.1，k2=-0.06时，系统⑻分岔图Fig.9 Bifurcation figure of system⑻with k1=-0.1，k2=-0.06

图10 系统⑻的限极环幅值曲线ρ=18Fig.10 Gain amplitude curves system⑻withρ=18

3 结论

文章主要研究了机床无刷直流电机系统的Hopf分岔控制问题.首先，研究了系统的分岔行为并判定系统的Hopf分岔类型；然后设计Washout滤波器对系统进行分岔控制，讨论了控制参数对Hopf分岔点位置，分岔类型以及极限环幅值的影响；并借助MATLAB软件对理论结果进行数值仿真，理论结果和数值仿真表明：线性控制参数能使系统在所期望的参数值处发生Hopf分岔，甚至消除Hopf分岔，非线性控制参数能改变原系统的分岔类型，使不稳定极限环变为稳定极限环，并能改变极限环幅值大小.研究结果对无刷直流电动机系统的工程实际具有一定的指导意义.

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BIFURCATION ANALYSIS AND CONTROL OF A MACHINE BRUSHLESSDC MOTOR SYSTEM*

Zhang Zhonghua Fu Jingchao Deng Guannan

（College of Science，Northeast Dianli University，Jilin 132012，China））

This paper is concerned with the Hopf bifurcation control of a brushless DCmotor system.Firstly，the Hopf bifurcation style of original system is studied by limit cycle curvature coefficient；Then the washout filter is used to realize the Hopf bifurcation control of original system，and the required parameter condition that will change the Hopf bifurcation position of original system is given based on the Hopf bifurcation theory，besides the Normal Form of Hopf bifurcation is obtained based on the Normal Form method，and the Hopf bifurcation style is discussed by the real part of Normal Form，the required parameter condition thatwill change the Hopf bifurcation style is given；And the computer simulations（by Matlab software）are applied to illustrate the theoretical results，simulation figures and theoretical results reveal that the linear gain can change the position of Hopf bifurcation and even make the Hopf bifurcation eliminate，while the nonlinear gain can change the stability of limit cycles or to control the amplitudes of oscillations.The result abovemay be help for the practical application of brushless DC motor system.

Hopf bifurcation，bifurcation control，washout filter，brushless DCmotor Received 04 December 2013，revised 28 March 2014.

E-mail：zhangzhonghua1979@126.com

10.6052/1672-6553-2014-024

*The project supported by the National Natural Science Foundation of China（11201057），＂12.5＂Science and Technology Development Projectof Jilin Province Education Department，Dr.Scientific Research Foundaton（BSJXM-201427）

2013-12-04收到第1稿，2014-03-28收到修改稿.

*国家自然科学基金资助项目（11201057），吉林省教育厅＂十二五＂科技发展项目，博士科研启动基金项目（BSJXM-201427）

E-mail：zhangzhonghua1979@126.com