线性规划模型的LINGO软件求解

姜远彦

摘 要：本文通过实例介绍运用LINGO软件求解线性规划问题。

关键词：线性规划问题 LINGO软件 求解

线性规划是运筹学中形成最早、最成熟的一个分支，是优化理论最基础的部分，也是运筹学最核心的内容之一。线性规划主要是用来确定具有多个变量的线性函数，在变量满足线性约束条件下的最优解。目前广泛应用于工农业、军事、交通运输、决策管理、物流管理等领域，线性规划的方法已经成为求解各种优化问题的主要方法。

1947 年丹捷格（G.B.Dantzig）提出的单纯形方法是求解一般线性规划问题的通用方法，对于数据简单的线性规划问题用这种方法手工求解还是可行的，但对于数据较复杂的规划问题手工求解就变得比较困难，计算量太大，容易出错，因此运用计算机相关软件求解线性

规划问题便成为首选的方式。目前，已有多种软件可提供线性规划问题的计算机求解，其中包括专业优化软件LINDO/LINGO、WINQSB，具备强大计算功能的MATLAB、MATHEMATICA，以及具有规划求解功能的EXCEL软件。本文介绍运用LINGO软件来求解具体的线性规划问题。

一、线性规划基本概念

1.线性规划的定义

线性规划是指如何最有效或最佳地谋划经济活动。它所研究的问题有两类：一类是指一定资源的条件下，达到最高产量、最高产值、最大利润；一类是，任务量一定，如何统筹安排，以最小的消耗去完成这项任务。如最低成本问题、最小投资、最短时间、最短距离等问题。前者是求最大值问题，后者是求最小值问题。总之，线性规划是在一定限制条件下，求目标函数最值的问题。

2.线性规划三要素

（1）目标函数最优化——单一目标、多重目标问题如何处理？

（2）实现目标的多种方法——若实现目标只有一种方法不存在规划问题。

（3）生产条件的约束——资源是有限的、资源无限不存在规划问题。

3.线性规划模型的基本结构

（1）决策变量——未知数。它是通过模型计算来确定的决策因素。又分为实际变量——求解的变量和计算变量，计算变量又分松弛变量（上限）和人工变量（下限）。

（2）目标函数——经济目标的数学表达式。目标函数是求变量的线性函数的极大值和极小值这样一个极值问题。

（3）约束条件——实现经济目标的制约因素。它包括：生产资源的限制（客观约束条件）、生产数量、质量要求的限制（主观约束条件）、特定技术要求和非负限制。

二、线性规划问题的数学模型

1.模型建立的步骤

从实际问题中建立数学模型一般有以下三个步骤：

（1）根据影响所要达到目的的因素找到决策变量；

（2）由决策变量和所在达到目的之间的函数关系确定目标函数；

（3）由决策变量所受的限制条件确定决策变量所要满足的约束条件。

2.线性规划问题数学模型的基本形式

（1）线性规划问题数学模型的一般形式是：

三、线性规划问题的具体实例以及模型的建立

1.具体实例

某奶制品加工厂用牛奶生产，两种奶制品，1桶牛奶可以在设备甲上用12小时加工成3 公斤，或者在设备乙上用8小时加工成4 公斤，且12每公斤获利24元，每公斤获利16元。现在加工厂每天能得到50桶牛奶的供应，每天正式工人总的工作时间为480小时，并且设备甲每天至多能加工100公斤，设备乙的加工能力没有限制。试为该厂制定一个生产计划，使每天获利最大。

2.模型建立

每天50 桶牛奶，工人总工作时间共480小时，至多加工100公斤.设用桶牛奶生产，用桶牛奶生产，下面给出该问题的目标函数和约束条件：

四、利用LINGO软件求解

1. LINGO软件简介

LINGO是美国LINDO系统公司开发的一套专门用于求解最优化问题的软件包。LINGO用于求解求解线性规划、二次规划、非线性规划，以及一些线性和非线性方程组的求解、代数方程求根等。

一般地，使用LINGO求解运筹学问题可以分为以下两个步骤来完成：

（1）根据实际问题，建立数学模型，即使用数学建模的方法建立优化模型；

（2）根据优化模型，利用LINGO 来求解模型。主要是根据LINGO 软件，把数学模型转译成计算机语言，借助于计算机来求解。

2. LINGO软件求解

以下应用LINGO9.0软件求解。点开软件，首先在LINGO 界面输入以下程序 ：

MODEL：

max=72*x1+64*x2；

x1+x2<=50；

12*x1+8*x2<=480；

3*x1<=100；

END

然后点击计算 ，可得出下列结果 ：

Global optimal solution found.

Objective value： 3360.000

Total solver iterations： 2

Variable Value Reduced Cost

X1 20.00000 0.000000

X2 30.00000 0.000000

Row Slack or Surplus Dual Price

1 3360.000 1.000000

2 0.000000 48.00000

3 0.000000 2.000000

4 40.00000 0.000000

從上面结果中不仅可以得到20桶牛奶生产，30桶牛奶生产，总利润为3360元，还可以得到灵敏度分析的结果。分析结果：当两个变量，增加一个单位时，目标函数的减少为零（即目标函数不变）。对于三种资源：原料无剩余，时间无剩余，加工能力剩余40小时，其中“资源”剩余为零的约束为紧约束（有效约束），即原料和时间为紧约束；原料增加1单位， 利润增加48，时间增加1单位， 利润增加2 ，加工能力增减不影响利润。

结语

线性规划是辅助人们进行科学管理的一种数学方法，在工农业生产、经济管理、交通运输等方面都有极其广泛的应用。但其建立数学模型的正确与否，手算的繁琐复杂程度给线性规划广泛的推广与应用带来了许多不便。但是通过使用LINGO软件，只需编写很简单的几行程序，就可以轻松求解，同时也提高了精确度。因此，利用LINGO软件求解线性规划问题逐渐成为科学界的共识。

参考文献

[1]昊祈宗.运筹学[M].北京：机械工业出版社，2002.

[2]谢金星，薛毅.优化建模LINDO/LINGO软件[M].北京：清华大学出版社，2005.