一类含有随机参数的Motor系统的Hopf分岔分析

南 娟，张建刚，杜文举

(兰州交通大学数理学院，甘肃兰州 730070)



一类含有随机参数的Motor系统的Hopf分岔分析

南 娟，张建刚，杜文举

(兰州交通大学数理学院，甘肃兰州 730070)

分析含有随机参数的Motor系统的Hopf分岔.选取服从拱形分布的随机变量为系统随机变量，利用Chebyshev正交多项式逼近理论将含有随机变量的Motor系统转化为等价的确定性系统，通过Hopf分岔定理和lyapunov系数讨论了Motor系统的Hopf分岔及稳定性，发现随机Motor系统的渐进稳定性参数区间大小不仅和确定性参数有关，还与随机参数有非常密切的关系.

随机Hopf分岔；Chebyshev正交多项式逼近；Motor系统；稳定性

在动力系统中，Hopf分岔占有非常重要的地位，许多学者针对不同的系统对Hopf分岔进行了较为深入的研究[1-5]，但由于系统的复杂性，这些研究大体上仅限于定性阶段，对于系统的定量研究还不是很多.在实际系统中，不可避免地会出现一些不确定因素，这些不确定因素通常又可以用具备某种统计特性的随机变量来描述，因此随机系统在自然界中广泛存在.

实际模型对精度和准确性的要求越来越高，随机系统越来越多地被用来刻画事物间的动态关系，尤其是含有随机参数的随机系统.目前，处理含有随机参数的随机动力系统的方法主要有以下几种：

1）Monte Carlo方法[6].这种方法简单广泛，但耗时较长；

2）随机有限元方法[7].这种方法耗时少，但却要求随机变量为一个小量；

3）基于正交多项式展开理论的正交多项式逼近法[8-10].这种方法没有以上两种方法的局限性，近年来被广泛应用于随机结构系统的演化随机响应[11]以及随机系统的分岔和混沌的研究中[12-15].

本文将采用正交多项式逼近法来研究一类含有随机参数的Motor系统的稳定性.永磁无刷直流电机（BLDCM）是现代高性能调速电机，鉴于其类似直流电机的调速性能和无碳刷及换向器的特殊结构，可将其设计成密闭结构电机，应用在多种特殊场合，如矿山、航天航空、深海等环境下.本文选取文献[16]中所采用的电机数学模型，在考虑模型不确定性和外界干扰的情况下，得到一个三维自治非线性系统，见文中的公式（5），最后通过模拟分析，证明了永磁无刷直流电机（BLDCM）系统Hopf分岔的客观存在性以及混沌动力学行为的相关理论.

1 随机函数正交分解的基本理论

本文选取服从拱形分布的随机变量为系统随机参数的情形进行研究，相应的正交多项式取为Chebyshev多项式.服从该分布的随机变量的概率密度函数的表达式如下[11]：

其相应的第二类Chebyshev多项式为正交多项式的一般表达式，形式如下：

第二类Chebyshev多项式的循环递推公式为：

其加权正交性可以表示为：

2 随机Motor系统的Chebyshev正交多项式逼近

对无刷直流电机开环系统，建立等效混沌数学无量纲模型如下：

其中状态变量x、y、z分别代表永磁电机等效的q轴电流iq、d轴电流iq以及转速ω，参数a、b表示系统特性参数.在仿真实验中，状态变量及特性参数均为无量纲物理量.

如果在具有随机参数的随机Motor系统（5）中，b=b+δξ是一个随机参数，其中b是b的均值，ξ为服从[-1,1]上的拱形分布的随机变量，δ是ξ的强度，则具有有界随机参数的Motor系统可表示如下：

随机系统的响应也是随机的，系统（6）的响应应该是时间t和随机变量ξ的函数，即

运用正交多项式逼近，响应（7）可以表示为如下级数形式：

其中i是Chebyshev多项式的序数，N表示所取多项式的最高阶数.当N→∞时，

分别严格等价于Motor系统的响应x（t,ξ ），y（t,ξ），z（t,ξ）.

本文取1N=，则

是在最小均方残差意义下的近似解.

将（9）式代入（6）式得：

由于任意两个 Chebyshev多项式的乘积都可以转化为 Chebyshev多项式的线性组合，所以（10）式中的非线性项最终可表示为：

运用Chebyshev多项式的循环递推公式，则（10）式中第三个方程式的后两项可化简为：

故实际计算中，1x-和2x按近似假设取值为零.将（11）式和（12）式代入（10）式中，得：

在（13）式等号两边同时乘以Hi(ξ)(i=0,1)，再关于ξ取期望，由Chebyshev多项式的正交性，最终可得：

这样就得到了与系统（6）等价的确定性系统.

3 随机hopf分岔分析

3.1 hopf分岔的存在性

系统（14）在平衡点处的Jacobian矩阵J为：

利用Maple软件可以计算出特征方程：

根据Hopf分岔理论，可知 b0就是系统发生Hopf分岔的临界值.如果满足a＞1且δ＜1，当参数b穿过临界值 b0时，系统（14）在平衡点O(0,0,0,0,0,0,)处发生Hopf分岔.

3.2 Hopf分岔的稳定性

考虑非线性动力系统：

假设Jacobina矩阵有一对纯复根λ1,2=±Iω(ω＞0)，其它特征值Reλ=0，令p∈Cn是λ1所对应的特征向量，q∈Cn为伴随特征向量，满足下列性质：

则第一Lyapunov系数为：

可以得到：

4 结 语

本文利用正交多项式原理对随机动力系统的Hopf分岔及稳定性问题进行了研究.首先利用正交多项式将含有随机参数的Motor系统约化为等价的确定性系统，然后再根据Hopf分岔定理对确定性系统的分岔及稳定性进行研究，进而得到随机Motor系统渐进稳定性的参数关系式以及影响因素.研究发现，随机因素对系统Hopf分岔及稳定性的影响比较显著，当随机参数的强度增大时，系统零解渐进稳定的参数区域越来越小.

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Stochastic Hopf Bifurcation Analysis in Motor System with Random Parameter

NAN Juan, ZHANG Jiangang, DU Wenju
(School of Mathematics and Physics, Lanzhou Jiaotong University, Lanzhou, China 730070)

It is analyzed in this paper that the stochastic Hopf bifurcation of Motor system with bounded random parameter is chosen from the arch-shape random variable to the systematical random variable. According to the Chebyshev orthogonal polynomial approximation in Hilbert space, the Motor system with random parameter is possible to be reduced into the deterministic equivalent system. Then the Hopf bifurcation and stability of deterministic equivalent system is discussed via the Hopf bifurcation theorem and the first Lyapunov coefficient method. It is discovered that the critical value of stochastic Hopf bifurcation is determined not only by deterministic parameters in stochastic system, but also by the intensity of random parameters.

Stochastic Hopf Bifurcation; Chebyshev Orthogonal Polynomial Approximation by Polynomial; Motor System; Stability

O175.12

A

1674-3563(2016)01-0016-10

10.3875/j.issn.1674-3563.2016.01.003 本文的PDF文件可以从xuebao.wzu.edu.cn获得

(编辑：王一芳)

2015-04-21

南娟(1988- )，女，甘肃景泰人，硕士研究生，研究方向：随机动力学