分段线性拟合法在普朗克常量测定中的应用——基于Excel软件分析

赵挺

（蚌埠医学院　数理教研室，安徽　蚌埠　233030）

分段线性拟合法在普朗克常量测定中的应用——基于Excel软件分析

赵挺

（蚌埠医学院数理教研室，安徽蚌埠233030）

本文通过Excel软件，利用分段线性拟合法测定普朗克常数，回避了复杂的编程，数据处理过程更为简便，有利于提高学生的学习效果和利用软件处理实验数据的能力.

Excel软件；普朗克常数；光电效应

引言

光电效应法测量普朗克常数，是常见的大学物理实验，其在验证爱因斯坦光电方程的同时，也加深了学生对光的波粒二象性以及量子理论的认识.相对于常见的“交点法”和“拐点法”［1］等，分段拟合法虽具有较小的误差，但需要一定的编程能力［2］［3］，对于没有基础的同学存在一定难度.Excel2010［4］作为一款大学生常用的数据管理分析软件，具有数值计算、统计、查询等诸多功能.特别是其提供的完备的函数库，可以满足各种复杂的数据处理要求.本文利用Excel2010软件，结合分段线性拟合法测定普朗克常数，过程更加快捷，有助于提高学生的学习效果，以及利用软件处理实验数据的能力.

1　实验原理

用光电效应法测量普朗克常数的关键，是准确测量不同波长入射光对应的遏制电压Ug.由于存在阳极电流、暗电流以及本底电流，故实际I～U曲线较阴极电流曲线有所下移（图1）.因此，当实测光电流为零时（图1中A点），阴极光电流并不为零.对于阳极电流较小，并且在遏制电压附近阳极电流上升很快的光电管，A点很接近Ug，故可以选择A点作为Ug，这种方法称为“交点法”.观察电流曲线，可以看到一个电流刚刚达到饱和时的拐点B，对于反向电流很容易饱和的光电管，B点很接近Ug，因此可以选择B点作为Ug，这种方法称为“拐点法”，显然两种方法都存在着一定的系统误差［4］.

特别是当反向电流较大，且趋向饱和较慢时（图2），Ug距离两点都较远，无论选择哪种方法，都存在较大误差.仔细观察图2可知，靠近遏制电压点附近，光电流的变化分为3个阶段，先急剧减少，然后变化趋缓，最后达到饱和点.其中前后2个阶段成明显的线性关系，而Ug位于两者之间曲线段上［1］.若将两段线性区域分别延长相交于C点（图2）.显然此点更加接近Ug，将其作为Ug具有较小的误差.图2中的两个线性区域可以看作两个线性函数，而C点即是这两个线性函数对应直线的交点［2］.

图1　实测光电管伏安特性曲线

图2　反向电流较大时的光电管伏安特性曲线（未画U＞0时的暗电流.）

2　遏制电压Ug的确定

2.1Ug确定方法

我们按照如下步骤求出Ug.

（1）数据分段

如前所述，曲线分为3段，故首先要对测量数据进行分段处理.我们分别沿着数据序列的起点和终点向数据的中段方向，对光电流数值I按照最小二乘法拟合，并计算出相应点的拟合值I`.当该点的拟合值与实测值的相对误差超过一定值时，此点即视为是曲线段上的点，否则仍然看作是线性区域上的点.

（2）拟合函数

根据上一步的结果，我们分别对属于两个线性区域中的点，进行线性拟合，得到两个线性函数y1和y2.

（3）确定Ug

求解由y1、y2构成的方程组，得到遏制电压Ug.

2.2软件操作

打开Excel2010软件，输入405nm入射光对应测量数据（图3）.

（1）数据分段

选中D3单元格输入“=FORECAST（B3，$C$2：C3，$B$2：B3）”，见图3，将光标移到D3单元格右下角，当光标变成“+”字时，点击并下拉至D10单元格.在D14单元格输入“=FORECAST（B15，C15：$C $16，B15：$B$16）”，上拉至D11单元格.这一步利用FORECAST函数，通过最小二乘法计算各点光电流拟合值I`，其中数据序列的起点（D2单元格）和终点（D16单元格）的拟合值取实测值.

为了对数据进行分段，我们将拟合值I`与实测值I的相对误差大于5%的点看作是曲线段上的点，并用删除线标出.选中B2单元格，点击“开始”选项卡＞“条件格式”＞“突出显示单元格规则”＞“其他规则”＞“使用公式确定要设置的单元格”，在公式栏中输入“=ABS（D2-C2）/C2）＞0.05”，对应格式选取“删除线”（图4），然后通过“选择性粘贴”将B2的格式复制给B3至B16单元格，结果见图5.

图3　输入测量数据并计算各点拟合值

图4　条件格式设置

图5　数据分段结果

（2）拟合函数

根据分段结果，电压位于 ［-1.64V，-1.52V］和［-1.42V，-1.36V］上的数据处于线性区域.我们分别对这两个区间上的点进行线性拟合，得到函数y1和y2的斜率和截距.在F2单元格（图6），输入“=SLOPE（C2：C8，B2：B8）”，在F4单元格输入“=INTERCEPT（C2：C8，B2：B8）”，计算函数y1的斜率k1和截距b1.利用同样的方法，也可确定函数y2.

（3）确定Ug

图6　拟合函数及确定Ug

根据3式，我们在F6单元格内输入“=（F5-F4）/（F2-F3）”，得到遏止电Ug=-1.46V，见图6.

3　测定普朗克常数

图7　输入测量结果并测定普朗克常数

利用相同的方法，我们得到了其他波长入射光对应的遏止电压，并将测量结果输入图7中表格，以便计算普朗克常数.由光电管伏安特性可知［1］，当光电管达到遏止电压时，从阴极逸出的动能最大的光电子恰好无法到达阳极，即

根据爱因斯坦的光电方程

将（4）式代入（5）式，可得

将实验数据绘成Ug-v曲线，分析（5）式可知，这是一条直线，由其斜率即可求出普朗克常数h，如图（8）所示.

因此，我们首先在D2单元格输入“=SLOPE（C2：C6，B2：B6）”（图7），利用最小二乘法，对入射光频率和遏制电压两列数据进行线性拟合，并给出斜率k.然后点击D4单元格，输入“=1.602E-19*D2”，计算出普朗克常量为6.62×10-34J.s，最后通过在D6单元格中输入“=ABS（D4-6.626E-34）/6.626E -34”，得到测量值与公认值之间的相对偏差为0.10%，测量结果十分准确.

图8　Ug～v曲线

4　小结

本文尝试利用Excel2010软件，结合分段线性拟合法测定普朗克常数，实验结果准确，数据处理过程快捷直观，回避了复杂的编程，在提高学习学生效果的同时，也有助于增强学生利用常用软件处理实验数据的能力.

〔1〕贾玉润，王公治，凌佩玲.大学物理实验［M］.上海：复旦大学出版社，1987.348-349.

〔2〕曹芳玲，邹哲奇，鲁晓东.分段线性拟合方法确定光电效应遏止电压［J］.大学物理实验，2011，24（6）：74-78.

〔3〕白光富，袁升，马泽斌，等.光电效应测普朗克常数新数据处理方法［J］.物理与工程，2013，23（3）：4-9.

〔4〕Excel Home.Excel 2010函数与公式实战技巧精粹［M］.北京：人民邮电出版社，2014.169-193.

O433.1

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1673-260X（2016）10-0006-03

2016-06-26