“1”在高中数学解题中的应用

马仁珠

（龙岩第二中学，福建龙岩364000）

“1”在高中数学解题中的应用

马仁珠

（龙岩第二中学，福建龙岩364000）

数学中“1”，在不同的章节知识里都有很多种不同的特征表示，深入挖掘，灵活应用，可以使很多问题得到巧妙、快速的解答。

“1”；构造；题目特征；数学解题

在求解数学问题的过程中，巧用“1”进行代换是屡见不鲜的。在求解三角形、不等式等问题时有着不可替代的作用。下面举例说明常数“1”在解题中的许多巧妙应用。

一、“1”的不同身份：

①a0=1（a≠0）；②lo gaa=1（a＞0且a≠1）；③tan45° =1，sin90°=1，cos0°=1；④-i2=1（i为虚数单位）；⑤x=1；⑥sin2=α+cos2α=1；⑦tanα·c o tα=1等等。

二、“1”在指、对数中的应用

在数学解题中，若能根据题目特征，巧妙地利用“1”作代换，常能出奇制胜，取得较好的解题效果。

例1.解方程2x-1=1.

解：∵2x-1=1∴2x-1=20∴x-1=0即x=1.

例2.解不等式lgx＞1.

解∵1=lg10则lgx＞lg10，∴x＞10.

例3.求y=lo ga（x-2）的图像恒过定点______.

解：∵lo ga1=0（a＞0且a≠1）∴x-2=1即x=3.∴定点为（3，0）.

三、“1”在三角函数中的应用

在解答一些数学问题时，有时需要将一个解析式的“1”用一个值等于1的解析式来代替，这是常数“1”的整体代换功能。

解：∵sin2α+cos2α=1，

在三角恒等变换中，常见的拓展变式有：1+sin2α =（sinα+cosα）2，1-sin2α=（sinα-cosα）2，1+cos2α =2 cos2α.1-cos2α=2sin2α.

例5.利用和（差）角公式计算1+tan150

的值.1-tan150解：∵1=tan450，

解题思路：利用tan450=1构造形如公式tan（α+例6.已知tanα=3，求：sin2α+cos2α的值.解：∵tanα=3，

四、“1”在基本不等式中求最值的应用

∴当x=4，y=12时，x+y的最小值等于16.

解题思路：由于已知条件右边是一定值1，且左边各项均为正数，所以可以用整体换元，代入消元，“1”的代换等方法求解，达到运用基本不等式的目的。

五、“1”在导数解题中的应用

例8.已知f（x）=lnx+a（1-x），

（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）当f（x）有最大值，且最大值大于2a-2时，求a的取值范围。

解：（Ⅰ）略

∴x＞0，∴g′（x）＞0，g（x）在（0，+∞）是增函数。又g（1）=0，上述不等式即g（a）＜g（1），∴0＜a＜1，即a∈（0，1）.

解题思路：在第（Ⅱ）题的解析中，关键是能估算出g（1）=0，再利用单调性对不等式lnx+x-1＜0进行解答。

六、“1”在二项展开式中求系数和的应用

例9.求（x+1）n展开式中所有项的系数和.

简析：依题意作出示意图，可建立如图所示的平面直角坐标系。因铅球走的路线是抛物线，故问题被转化为求抛物线顶点的横坐标。由已知条件可求得抛物线的解析式，再进一步求抛物线顶点的横坐标。

（五）建立目标函数模型，转化为函数极值求解问题

例5.某高中学校为高一新生设计的学生单人桌的抽屉部分是长方体，抽屉底面周长为180 cm，高为20 cm。请通过计算说明，假设材质及其厚度等暂忽略不计，当底面的宽为多少时，抽屉的体积最大？最大

例10.求（2x+1）n展开式中所有项的系数和.

其展开式中所有项的系数和为

七、“1”在概率事件中的应用

例11.某射手的一次射击中，射中10环、9环、8环的概率分别为0.2，0.3，0.1.则此射手在一次射击中不超过8环的概率为________.

解：设此射手在一次射击中不超过8环为事件A，则P（A）=1-（0.2+0.3）=0.5

“1”是一个特殊的数，在不同的章节知识里它都有很多种不同的表示结果，深入挖掘，灵活应用，可以使很多问题迎刃而解，取得事半功倍之效.

［1］桑娅洁.数学解题，“1”马当先［J］.数学学习与研究，2012（21）.

［2］游晓荔.浅谈公式sin2α+cos2α=1的巧用［J］.才智，2014（21）.

［3］余明芳.王钦敏.怎样联想［J］.中学生时代，2005（24）.

（责任编辑：王钦敏）

数学源于生活，学习数学可以解决生活中的实际问题。作为数学教师，要善于激励学生学数学、用数学，注重引导学生从已有的生活经验出发，亲身体验将实际问题抽象成数学模型的全过程，从而培养他们分析问题和解决问题的能力。为多少？（建立目标函数模型问题）

参考文献：

［1］何小亚.数学应用题教学的实践与思考［J］.数学通报，2000（4）.

［2］顾志林.初中数学应用问题教学现状的调查研究［J］.数学之友，2011（5）.

［3］吴文胜.小学数学应用题教学的若干思考［J］.现代中小学教育，2004（11）.

（责任编辑：王钦敏）