整体思想方法在三角问题中的独特妙用

刘利红

新课程标准要求注重学习方法的培养，“授人以鱼，不如授人以渔”.解答某些三角题采用整体的思想方法求解，往往能起到出奇制胜的效果.本文通过实例，介绍几种整体思想在解三角题中的应用，供大家参考.

一、高瞻远瞩，把握公式

例1已知cos（α+β）=12，cos（α-β）=13，求tanα tanβ的值.

解由cos（α+β）=12，

cos（α-β）=13，

即cosαcosβ-sinαsinβ=12，

cosαcosβ+sinαsinβ=13.

解得cosαcosβ=512，sinαsinβ=-112.

所以tanα tanβ=sinαsinβcosαcosβ=-112×125=-15.

小结把两角和与差的正弦、余弦公式中的sinαcosβ，cosαsinβ，cosαcosβ，sinαsinβ，sinαcosβ+cosαsinβ，sinαcosβ-cosαsinβ，cosαcosβ+sinαsinβ，cosαcosβ-sinαsinβ看成整体求解.

例2已知方程mx2+（2m-3）x+（m-2）=0有两根tanα，tanβ，求tan（α+β）的最小值.

解因为mx2+（2m-3）x+（m-2）=0有两根tanα，tanβ，

所以Δ=（2m-3）2-4m（m-2）≥0，

m≠0.

解得m≤94且m≠0.

由一元二次方程的根与系数关系得

tanα+tanβ=3-2mm，tanαtanβ=m-2m.

所以tan（α+β）=tanα+tanβ1-tanαtanβ=3-2m2=32-m

≥32-94=-34.

故tan（α+β）的最小值为-34.

小结在三角函数的求值和化简过程中，灵活使用两角和与差的正弦、余弦、正切公式中的整体思想，对解题思路展开大有益处.

二、整体代入，直奔终点

例3化简：sin（x+π3）+2sin（x-π3）-3cos（2π3-x）.

解原式=sin（x+π3）+3cos（x+π3）+2sin（x-π3）

=2[sin（x+π3）×12+cos（x+π3）×32]+2sin（x-π3）

=2sin（x+2π3）+2sin（x-π3）

=2sin[π+（x-π3）]+2sin（x-π3）

=-2sin（x-π3）+2sin（x-π3）=0.

小结逆用和角或差角公式将其合并成一个三角函数来处理可以简化运算.

例4 已知cos（ + ）= ，cos（ - ）=- ， < + < ， < - < ，求cos 与cos 的值.解：因为 < + < ，cos（ + ）= ，所以sin（ + ）=- .又 < - < ，cos（ - ）=- ，所以sin（ - ）= .所以cos2 =cos[（ + ）+（ - ）]= cos（ + ）cos（ - ）-sin（ + ）sin（ - ）=- .同理cos2 =cos[（ + ）-（ - ）]=-1.小结：研究题中角与角之间的关系发现2 =（ + ）+（ - ），2 =（ + ）-（ - ），实施角变换.例5 的值等于（ ）.（A）2+ （B） （C）2- （D） 解： = = =tan15°=tan（45°-30°）= =2- .小结：观察被求式子中角的特点，实施角变换.三、整体联想，建对偶式

例4求sin220°+cos280°+3sin20°cos80°的值.

解令M=sin220°+cos280°+3sin20°cos80°，

则其对偶式为

N=cos220°+sin280°+3cos20°·sin80°.

因为M+N =（sin220°+cos220°）+（cos280°+sin280°）+3（sin20°cos80°+cos20°sin80°）=2+3sin100°，（1）

M-N=（sin220°-cos220°）+（cos280°-sin280°）+3（sin20°cos80°-cos20°sin80°）=-cos40°+cos160°-3sin60°=-2sin100°sin60°-32=-3sin100°-32，（2）

所以（1）+（2）得2M=12，M=14，

即sin220°+cos220°+3sin20°·cos80°=14.

小结在上式中，把各角的弦值转化为同角互余的弦值，从而构造出一个对偶式，并通过对原式和对偶式进行和差或积的运算，可使问题得到巧妙的解决.

四、内在联系，整体代换

例5求函数γ=（sinx+a）（cosx+a）的最值（0

解γ=sinxcosx+a（sinx+cosx）+a2.

令sinx+cosx=t∈[-2，2]，

且有sinx·cosx=t2-12，故γ=12（t+a）2+a2-12.

当t=2时，γmax=a2+2a+12.

小结遇到sinx+cosx，sinx-cosx，sinx·cosx相关的问题，常采用换元法.但要注意范围的确定.

例6已知函数f（x）=asin（πx+α）+bcos（πx+β），其中a、b、α、β都是非零实数，又知f（2003）=-1，求f（2004）的值.

解f（2003）=asin（2003π+α）+bcos（2003π+β）

=asin（2002π+π+α）+bcos（2002π+π+β）

=asin（π+α）+bcos（π+β）=-asinα-bcosβ

=-（asinα+bcosβ）.

因为f（2003）=-1，所以asinα+bcosβ=1.

所以f（2004）=asin（2004π+α）+bcos（2004π+β）

=asinα+bcosβ=1.

小结寻找联系是解决问题的关键.

从以上例题可以发现，在进行三角函数的化简，求职变换中，一定要本着先整体再局部的基本原则，先整体分析三角函数的特点，如果符合上述某些关系，则整体变形，否则进行局部变换.