以圆锥曲线为例谈解题教学的几点感悟

☉江苏省如皋市搬经中学　章杰

以圆锥曲线为例谈解题教学的几点感悟

☉江苏省如皋市搬经中学章杰

在教学中，教师应该教会学生从观察、思考、联想、变换思考角度等方面去分析问题，进而确定解题的思路和方法.学生也应该养成良好的学习品质，勇敢地面对遇到的任何困难，树立战胜困难的信心和决心.在我们的思维处于困境的时候，从条件的特定含义分析和解决问题，是解决数学难题的一种有效途径.下面以圆锥曲线问题为例，来谈谈笔者在解题教学中的几点感悟.

一、审题如沙里淘金，是金子总要发光

审题是解题的基础，思维受阻往往是对条件没有进行仔细观察和思考，忽视了某些条件的重要作用，没有转化分解能力的差异.审题如同沙里淘金，不要漏掉任何一个线索，一个不起眼的条件或许就能打开成功的大门.

（1）求a，b的值；

（2）求证：直线MN的斜率为定值.

图1　

解析：（1）设点A（x1，y1），则B（-x1，-y1）.由已知得解得x1=2，y1=1，代入椭圆方程，再结合离心率为，求得a=

（2）对于此问，题目给出的条件不少，但是值得我们关注的是“直线l：y=与椭圆E相交于A、B两点”，这个条件等价于“A、B两点关于原点对称”.对于CA、CB、DA、DB中，假设斜率存在时，我们进一步地挖掘可以得到设CA的斜率为k1，DA的斜率为k2，可得到这样一来，直线AD的方程为y-1=k2（x-2），直线BC的方程为y+1=-求点N

上述问题，虽然给出的条件众多，但是问题的突破口应该是

二、突破思维受阻是对心理素质的考验

数学问题的解决经常伴随着困难、挫折和失败.有些学生在思维受阻时，冥思苦想，不肯放弃原有思路，钻牛角尖，固执己见，当然是穷途末路苦徘徊，到头来一无所获.也有人碰到难题，急于求成，一旦思路受阻，找不到切入点，就会烦躁不安，心慌意乱.也有人遇到思维受阻，能够冷静地观察，善于寻找特定条件的微妙含义，迅速转换思维角度，灵感突现，这种成功的快感难以言表.

图2　

（1）求椭圆C和圆F的方程；

（2）已知过点A的直线l与椭圆C交于一点B，与圆F交于另一点P.请判断是否存在斜率不为0的直线l，使P恰好为线段AB的中点？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由.

（2）对于本问的求解，大部分学生的思路是：设出直线AB的方程，与椭圆方程联立，利用中点坐标公式表示出点P坐标，再由点P在圆F上，故点P的坐标满足圆的方程.再利用此关系判断满足条件的直线是否存在.

设B（x1，y1），则2+x1=可得中点P由点P在圆F上可得化简整理得k2=0.又因为k≠0，所以不存在满足条件的直线l.

解析几何既具有几何特征，又具有代数性质.几何问题代数化是处理解析几何问题的常用策略，解题中要善于挖掘隐藏的平面几何属性，为代数化创造条件.代数化的过程既可以将几何问题直接代数化，也可以先把几何问题利用几何方法进行适度简化，再代数化.通常前者思维量小但计算量大；后者计算量小但思维量大.

三、灵感依赖于对条件的点滴探索

在解题中，当遇到一道难题时，某些同学对题发呆，虽然绞尽脑汁，灵感也总是出不来，自己着急，老师也替学生发急.其实题目中的每个条件都具有自己的特定含义，我们不妨把它们转化一下，哪怕是一小步，写一写、化一化、算一算，也许在写与算的过程中就可以得到一些启发.

例3如图3，在平面直角坐标系中，已知抛物线y2= 2px（p＞0），设点D（n，0），E（m，0），M为抛物线上的动点（异于顶点），连接ME并延长交抛物线于点N，连接MD、ND并延长交抛物线于点P、Q，连接PQ，设直线MN、PQ的斜率存在且分别为k1、k2.

图3　

（1）若k1=1，m=2，|MN|=4求p；

（2）是否存在与p无关的常数λ，使得k1=λk2恒成立，若存在，请将λ用m、n表示出来；若不存在，请说明理由.

解析：（1）略.

（2）本题条件众多，容易分散我们的注意力.抛物线居然有四个点M、N、P、Q，其中M、E、N三点共线，M、D、P三点共线，N、D、Q三点共线，直线MN、PQ的斜率分别为k1、k2.如果想k1=λk2恒成立时λ的值存在，那么这么多的条件，从哪个地方下手，设点还是设直线，乍一看肯定是心慌意乱的.

其实虽然有这么多点的共线，但是它们的性质特征应该是一致的，任何三点共线具有的性质应该是相似的，其实这也是他们的突破点，如果我们能够行动起来，集中攻击这个弱点，在计算过程中还可能获得启发，进而乘胜推进，最终获得成功.基于此，我们不妨从M、E、N三点共线入手，设M（x1，y1），N（x2，y2），P（x3，y3），Q（x4，y4），得由于M、N是抛物线上的点，可以化简再化简得，y2y1= -2pm.这是多么惊喜的战果呀！也就是说，从M、E、N三点共线可以得到y2y1=-2pm，那么可以肯定地说，从M、D、P三点可以得到y3y1=-2pn，从N、D、Q三点共线可以得到上式巩固阵地，即，需要将y3、y4替换成y1、y2，则k2=再来看等式存在.因此，存在与p无关的常数λ=，使得k1=λk2恒成立.

综上，对于解析几何问题，一般来说解题过程都比较烦琐，运算量较大，如何简化运算就成了同学们迫切要解决的问题，因此在教学过程要注重培养学生综合运用所学知识解决问题的能力；要加强学生运算、转化能力的强化训练；要注意问题的求解中分类讨论、数形结合、函数不等式、参数法等数学思想方法的渗透.F