高三数学教学需要“接地气”──《基本不等式》教学案例

江苏省南京市六合区程桥高级中学 钟国林

高三数学教学需要“接地气”──《基本不等式》教学案例

江苏省南京市六合区程桥高级中学 钟国林

新课程标准下，南京市模考给了众多高三同仁非常有效的启示，高三基本不等式的教学必须“接地气”，只有明白学生学习的困惑，依据学生的实际掌握情况设置课堂教学内容，方可达到“授业解惑”的效果。教师要从一个知识的传授者转变为学生发展的促进者，要从教室空间支配者的权威地位向数学活动的组织者、引导者和合作者的角色转变。

新课程；接地气；数学教学

【教学过程】（课堂实录）

【创设问题，情境引入】

【教师活动】把一个物体放在天平的一个盘子上，在另一个盘子上放砝码使天平平衡，称得物体的重量为a,由于天平制造得不精确，天平的二臂长略不同（其他因素不计），那么a并非实际质量。不过，我们可作第二次测量，把物体调换到天平的另一个盘子上，此时称得物体的质量为b。那么物体的实际质量是多少呢？

【学生活动】（合作交流、思考）

1.让学生猜测结论，学生会提出如下猜测：物体的实际质量应为。

2.让学生分组讨论：上述猜测正确吗？

让一个小组代表介绍讨论结果，教师点评，并提出新的问题。实际结果应为。

生：证明：设天平的两臂长分别为L1,L2,物体实际质量为G，根据力学原理有：

L1G=L2a①

L2G=L1b②

①,②两式相乘再除以L1L2，可以得到。

3.对于非负数a,b，称为a,b的算数平均数，为a,b的几何平均数。

4.问题：两个非负数a,b的算数平均数与几何平均数之间具有怎样的大小关系呢？

【建构教学】

2.呈现课题：基本不等式的证明。

引导学生分析、思考，给出基本不等式的证明，点评有关问题。

【教师点评】（赞许、露出愉悦表情）

（1）由证明过程可发现，当且仅当a=b时，两个均值相等，并解释“当且仅当”的两方面的含义。

（2）强调结论成立的条件:“a,b都是非负数”，并举反例加以说明。

（3）证法一是比较法，证法二是分析法，它们都是证明不等式的基本方法。

3.通过严格证明，得到下列结论：

【教师总结】定理：如果a,b是正数，那么（当且仅当a=b时取“=”）。

让学生根据教材中图3-4-1，尝试给出上述基本不等式的几何解释，并思考这个不等式的其他证明方法。

【教师点评】

（1）这个不等式的基本几何解释为“半弦≤半径”。

（2）这个基本不等式可否推广到“n个（n＞1，n∈N）非负数”的情形？有兴趣的同学可以做进一步的研究，也可查阅有关资料。

【数学运用】

1.例题。

例1： 已知a,b为正数，求证下列不等式：（1）；（2）。

分析：可直接应用定理进行证明，要注意应用定理的条件。

所以原不等式成立。

（2）因为a为正数，所以也为正数，由基本不等式，得，所以原不等式成立。

【教师点评】

（2）在使用基本不等式时应注意其成立的条件，因此在上述证明中，应先说明具备成立条件，然后才能使用基本不等式。

解：因为x＞ -2,所以x+2＞0,由基本不等式，得，

因此，当x=2时，函数有最小值6。

【教师点评】

（1）在使用基本不等式求函数最值时，常需要将函数式进行变形，以创造条件使用基本不等式。

（2）在利用基本不等式求函数最值时，应注意“一正数、二定值、三相等”，即必须两个量都是正数（也可是负数），才能直接使用基本不等式；要把函数式放缩到常数；等号要能取到。

【课后反思】

1.“接地气”，需要讲究课堂表现形式

高三数学教学最易出现重结果轻过程的现象,形成结果的生动过程往往被单调机械的条文所取代,所以数学教学中表现出太多的机械、沉闷和程式化,缺乏生机、乐趣和对好奇心的刺激。于是,学习可无需智慧，只要认真听讲和单纯记忆,读书可不必深入思考,做题可不必诘问创新,排斥了学生数学学习过程中的思考和个性。本案例运用基本不等式来解决问题，并从中寻找规律,进而渗透数形结合和等价化归等数学思想，关注推理能力的培养，有助于发展学生的创新精神。

2.“接地气”，绝不是反对预设教学目标

高三数学课不同其他学科，在教授之前，老师需要做大量的准备，这叫“备课”，教学目标的设置是教师“备课”的主要依据，一堂高三数学课，就更需要教师在课前精心准备。所以，“接地气”绝不是反对预设教学目标，反而是为促进教学目标的有效达成加了“催化剂”，让学生从老师机械呈现教学目标的枯燥和无趣中尝到自我“发现”的甜头，从而激发学生主动和积极参与课堂学习活动的兴趣，提高了听课和学习效率。

3.“接地气”，就是引导学生自我建构知识

高三数学教学过程是教师引导学生进行数学活动的过程。首先,数学活动就是学生经历数学化过程的活动,数学活动就是学生学习数学,探索、掌握和应用数学知识的活动.简单地说,在数学活动中要有数学思考的含量,数学活动不是一般的活动,而是让学生经历数学化过程的活动,数学化是指学习者从自己的数学现实出发,经过自己的思考,得出有关数学结论的过程。每位数学教师都必须深刻认识到,是学生在学数学,学生应当成为主动探索知识的“建构者”,决不是模仿者，无论教师的教还是学生的学都要在学生那里体现,不懂得学生能建构自己的数学知识结构,不考虑学生作为主体的教,不会有好的效果。

[1]施刚良，周笔崇.“小题”也可以“大做”[J].中学数学，2013（9）.

[2]季近仁.高中生数学反思性学习的调查研究[D].苏州大学，2011.

[3]单墫.普通高中课程标准实验教科书[M].江苏教育出版社，2012（3.4）.