高三数学复习课上一次有益尝试——准确把握几何概型的测度

江苏省仪征市陈集中学 陈庆有 张顺军

高三数学复习课上一次有益尝试
——准确把握几何概型的测度

江苏省仪征市陈集中学 陈庆有 张顺军

高中数学概率论的几何概型这一节内容，是新教材中新出现的内容，在高考中要求学生对几何概型的含义有最基本的认识，并能解决相关的简单问题。近三年高考中少有出现这部分内容，以至学生及部分教师对这部分内容有所忽视，但我却认为解决几何概型问题的过程是培养学生综合素质的大好机会，阅读能力，转化能力，思辨能力都是必不可少的。

数学课堂是学习数学知识，启迪数学智慧的主阵地、主渠道，学生数学知识的学习、技能的训练、能力的培养乃至数学素质的全面提高，都要依赖于教师精心设计，组织与实施数学课堂教学，以下是我高三数学的一堂复习课的讲解要点和心得，权当抛砖引玉之效。

一、放飞思维，明确试验条件，准确选择测度

几何概型是一种特殊的随机事件概率模型，是概率问题的几何形式，是指随机事件A的发生可以恰好视为取得区域D内的某个指定区域d上的点，这时事件A发生的概率与d的测度（长度、面积、体积等）成正比，与d的形状和位置无关。那么，测度的选择是解决此类问题的关键。

【课前热身】

1.两根相距为8m的木杆上系一根绳子，并在绳子上挂一盏灯，求灯与两端的距离都大于3m的概率。

2.在10000km2的海域中有40km2的大陆架储藏着石油，假如在上述海域中任意一点钻探，求钻到油层面的概率。

3.用橡皮泥做成一个直径为6cm的小球，假设橡皮泥中混入了一个很小的砂粒，求这个砂粒距离球心不小于1cm的概率。

4.在圆心角为90°的扇形AOB中，以圆心O为起点作射线OC，求使得∠AOC和∠BOC都不小于30°的概率。

提问：1.以上各个问题以什么为测度？2.几何概型的特征是什么？3.几何概型的计算公式是什么？

【评注：这四个简单的课前热身，分别选取了长度、面积、体积、角度作为测度，学生对显性的几何概型较容易理解，轻易解决了上述问题，并归纳总结了几何概型的特征、与古典概型的区别以及几何概型的计算公式。这时，教师要相信自己的学生，把反思归纳工作留给学生，让高三的学生养成良好的反思习惯，提高他们自我消化知识的能力。】

二、放手学生，紧抓特征，大胆编题、解题

【提升训练方案】已知正方形ABCD与正方形内一点P。

步骤一：各小组分组讨论，设计一道几何概型题目（5分钟）。步骤二：各小组推荐一名代表上黑板展示成果。步骤三：其他小组解答问题。步骤四：教师进行变式训练。

第二小组：在正方形对角线AC上取一点P，求AP＜AB的概率。

变式（1）：过B在正方形内部任作一条射线BP，与线段AC交于点P，求AP＜AB的概率。

变式（2）：在正方形内部任意取一点P，求使AP＜AB的概率。

第三小组：在正方形内取一点P，求使∠APB为锐角的概率。

变式：在正方形内取一点P，求使∠APB为钝角的概率。

第四小组：在正方形内取一点P，求使P到正方形各顶点的距离都大于AB的概率。

变式：在正方形内一点P，求使P到各边距离都大于AB的概率。

【评注：学生在编题的过程中思维活跃，大胆尝试，紧抓几何概型的特征，设计了很好的题目。在解题过程中，培养学生转化能力，准确选择测度，强化了计算公式。教师在讲解过程中适时变题，强化学生思辨能力。】

三、收放自然，教师引导，学生尝试

【深化拓展】

已知正方形ABCD边长为2，正方形内任意一点的选取是可能的，任选一点P，作PM⊥AB于点M，PN⊥AD于点N，矩形PMAN的面积为S。

（1）请建立适当的坐标系，设P（x，y），作出满足S＜1的P点的区域，并写出x，y满足的条件。

（2）S＜1的概率大于0.5吗？试通过计算说明。

【评注：本题延伸了上题的题干，不仅复习几何概型，还复习了建坐标系、线性规划、定积分等有关内容，但学生独立思考较困难，需要教师适时点拨，作好铺垫，让学生充分开动脑筋，强化了学生各部分知识联系与应用。】

本节课的设计，以一个有思维力度的问题，设计了一个突破难点的方案，强调了数学本质，注意适度形式化，注重提高学生数学思维能力，以加深学生对数学基本知识、基本方法的理解与把握，也激发了学生对数学的热爱之情。放飞思维，放手学生，让学生积极的情感掀起思维的波涛。