一类非线性分数阶微分方程边值问题正解的存在性*

康文彦，高巧琴

(吕梁学院数学系，山西吕梁033000)

一类非线性分数阶微分方程边值问题正解的存在性*

康文彦，高巧琴

(吕梁学院数学系，山西吕梁033000)

通过运用Avery－Peterson不动点定理，得到了一类非线性分数阶微分方程边值问题至少有三个正解的充分条件.最后，通过一个具体实例验证了给出的充分条件的正确性.

分数阶微积分;分数阶边值问题;格林函数;Avery－Peterson不动点定理;锥

近些年来对分数阶微积分和分数阶微分方程边值问题的研究被许多学者所关注［1］.在文献［2］中，通过运用Amann定理和上下解的方法研究了一类带有非线性边值条件的分数阶微分方程边值问题，得到了其存在多解的新结果.在文献［3］中，通过运用半序集上的不动点理论，证明了非线性分数阶微分方程的边值问题解的存在性和唯一性.在文献［4］中，应用Leray－Shauder非线性择决和锥上的Krasnoselskii不动点理论，证明了非线性分数阶微分方程的边值问题正解的存在性.在文献［5］中，通过运用锥上的不动点定理，证明了的正解的存在性，其中Dα表示标准的Riemann－Liouville型分数阶微分.在文献［6］中，应用锥上Avery－Peterson不动点定理，证明了一类非线性Caputo分数阶微分方程边值问题至少有三个解的存在性问题.

本文通过运用格林函数的性质和锥上Avery－Peterson不动点定理，得到边值问题至少有三个正解存在的结果.

1 预备知识

定义1 设α＞0，函数(0，+∞)→R连续，则分数阶积分定义为

定义2 设α＞0，函数(0，+∞)→R连续，则分数阶右侧Caputo导数定义为

其中n=［α］+1.

引理1［4］令α＞0，若u(t)∈ACn［0，1］或u(t)∈Cn［0，1］，那么

其中n=［α］+1

引理2［5］令g(t)∈C［0，1］，则边值问题

有唯一解u(t)=∫10G(t，s)g(s)d s，其中G(t，s)=

这里G(t，s)是边值问题(2)的格林函数.

引理3 格林函数G(t，s)有如下性质:

(i)G(t，s)∈C(［0，1］×［0，1］)且对任意的t，s∈(0，1)，G(t，s)＞0;

定义3 称映射φ是Banach空间E中锥P上的非负连续的凸函数，若φ满足:φ:P→［0，∞)是连续的且φ(tx+(1－t)y)≥tφ(x)+(1－t)φ(y)，其中x，y∈P，t∈［0，1］.

令γ，θ是锥P上非负连续的凸函数，φ是锥P上非负连续的凹函数，ψ是锥P上的非负连续函数，则对正数a，b，c，d，定义下面的凸集:

引理4 令P是Banach空间E中的一个锥，γ，θ是锥P上非负连续的凸函数，φ是锥P上非负连续的凹函数，ψ是锥P上的非负连续函数，满足:

ψ(λx)≤λψ(x)，λ∈［0，1］

(S1)当x∈P(γ，θ，φ，b，c，d)时，{x∈P(γ，θ，φ，b，c，d)|φ(x)＞d}≠∅，且φ(Tx)＞b;

(S2)当x∈P(γ，θ，φ，b，d)且θ(Tx)＞c时，φ(Tx)＞b;

(S3)当x∈R(γ，θ，a，d)，且ψ(x)=a时，0∉R(γ，φ，a，d)且ψ(Tx)＜a成立.那么T至少有三个不动点x1，x2，x3∈P(β，d)使得γ(xi)≤d，i=1，2，3;b＜φ(x1);a＜ψ(x2);φ(x2)＜b;ψ(x3)＜a.

2 主要结果

引理5 假设f(t，u(t)，u'(t))＞0，u(t)是边值问题(1)的一个解，那么‖u‖≤‖u'‖.

定义算子T:K→E为

引理6 假设f(t，u，u')在［0，1］×［0，+∞)× R是连续的，那么映射T:K→K是全连续的.

证明 由f:［0，1］×［0，+∞)×R→［0，+∞)和引理3可知Tu(t)＞0.又因为

所以T(K)⊂K，则T是全连续的.

令α是非负连续的凹函数，β、θ是非负连续的凸函数，φ、ψ是非负连续函数，它们在锥上定义如下:β(u)=‖u'‖，θ(u)=ψ(u)=‖u‖，φ(u)=|u(t)|.由引理5和6可知，以上定义的函数满足θ(u)≤ φ(u)≤ θ(u) =ψ(u)，‖u‖ ≤β(u)，u∈K.

假设存在正的常数a，b，d且a＜b＜d，c=4b使得

定理1 假设(H1)～(H3)成立，则边值问题至少有三个正解u1，u2，u3满足u1(t)

证明 该边值问题有解u=u(t)当且仅当u是算子方程

事实上常函数u(t)=4b∈P(β，θ，φ，b，c，d)和φ(4b)＞b暗含{u∈P(β，θ，φ，b，c，d)|φ(u)＞b}≠∅.对u∈P(β，θ，φ，b，c，d)，有b≤u(t)≤4b，且对t∈有|u'(t)|＜d.由假设(H2)知暗含对任意的u∈P(β，θ，φ，b，c，d)有φ(Tu)＞b.

由ψ(0)=0可知0∉R(β，ψ，a，d)，假设u∈R(β，ψ，a，d)，ψ(u)=a，那么由假设H3可知

因而，引理4的所有条件都满足.所以该边值问题至少有三个正解u1，u2，u3满足‖ui‖ ＜d，i=1，＜b;‖u3‖ ＜a.

3 例子

考虑下面FBVP

其中α=1.5，t∈［0，1］.选择a=1，b=10，d=104，于是.则非线性项f(t，u，u')满足

由定理1知边值问题(2)至少有三个正解u1，u2，u3满足

［1］V Lakshmikantham，A S Vatsala.Basic theory of fractional differential equations［J］.Nonlinear Anal，2008，69:2677－2682.

［2］Liu Xiping，Jia Mei.Multiple solutions for fractional differential equations with nonlinear boundary conditions［J］.Computers and Mathematics with Applications，2010，59:2880－2886.

［3］Mena J C，Harjani J.Existence and uniqueness of positive and nondecreasing solutions for a class of singular fractional boundary value problems［J］.Boundary Value problems，2009，43:1011－1016.

［4］Bai Zhanbing，Qiu Tingting.Existence of positive solution for singular fractional differential equation［J］.Applied Mathematics and Computation 2009，215:2761－2767.

［5］Xiong Yang，Zhongli Wei，Wei Dong.Existence of positive solutions for the boundary value problem of nonlinear fractional differential equations［J］.Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation，2012，17(1):85－92.

［6］Liu Yang.Application of Avery－Peterson fixed point theorem to nonlinear boundary value problem of fractional differential equation with the Caputo's derivative［J］.Commun Nonlinear Sci NumerSimulat，2012，17:4576－4584.

(责任编辑:陈衍峰)

O175

A

1008－7974(2016)06－0028－03

10.13877/j.cnki.cn22－1284.2016.12.009

2016－07－12

国家青年科学基金项目“纠缠及纠缠之外的量子关联刻画”(11301312);校内青年基金项目“三维空间一类齐次Moran集的Hausdorff维数”(ZRQN201521);校级科研基金项目“分数阶差分方程边值问题解的存在性”(2014Q10)

康文彦，女，山西吕梁人，教师.