巧用换元法解数学题

云南省曲靖市富源县胜境中学 赵贤芳

巧用换元法解数学题

云南省曲靖市富源县胜境中学 赵贤芳

换元法是求解高中数学问题的经典思想方法之一，通过换元，可以使问题变生为熟，变难为易。这种方法的关键就是如何合适的选择新元以及如何引入新元，由于题目的不同，学生在解题时应根据条件选择合适的换元法。本文将通过实例介绍换元法常见的三种类型—三角换元法、整体换元法和均值换元法。

换元法；高中数学；解题方法

换元法又叫变量代换，实质就是转化与化归，即在求解问题时引入新的变量去代替原来复杂的表达式，从而形成新的变量表达式，因此使问题得到简化，降低求解难度。掌握这种方法可以使复杂问题变得简单明了，是一种快速有效的解题方法。

一、三角换元法

例1 （2012年浙江省高考数学）若正数x，y满足x+3y=5xy，则3x+4y的最小值是多少？

二、整体换元法

整体换元法是指若某个代数式在条件或问题中出现几次，便用一个字母来代替它从而使问题简化。通常需要通过变形才能发现，用新的字母代替原来的代数式从而得到新的表达式，通过对新表达式的研究来获得原来表达式的最大值、最小值等性质。

点评：本题条件较为复杂，很难一步求解到位，因此可多次利用基本不等式进行放缩，从而 凑出相同的部分，再利用整体换元法将式子化简。通过解答过程可以看出，在使用换元法解决问题时，新元的代入只是将原来的整体代换，将已知条件运用到新元代入后的表达式中，从而达到简化原式的目的，尤其要注意整体换元法时被代替的代数式的取值范围。另外，还需注意多次利用基本不等式时等号成立的条件是否相同。

三、均值换元法

均值换元法是指当题目条件中出现两数之和时，往往设两数分别为其平均值加减另一个常数。运用此种方法可以达到减元的效果，从而将复杂问题简化。

以上列举了换元法常见的三种类型，除此之外，还有和差换元法、比值换元法等类型。换元法就是利用转化与化归的数学思想，其关键就是找出被代换的代数式和设立新的元，然后将问题转移到新的表达式中研究，从而使非标准问题标准化，复杂问题简单化。换元法是一种创造性思维的显现，熟练掌握换元的基本方法，对学生求解不等式、分解因式、求函数最值、解数列等问题有很大的帮助。由于换元法类型众多，学生也需要多加练习，不断总结反思，归纳换元法的解题思路，从而提高解题能力。