高中数学教科书中探究内容的应用策略

摘 要高中数学教科书中编制了众多探究内容来促进数学探究教学的开展，教师在教学中可本着以下六条原则创造性地应用探究内容，包括：依据探究主线来取舍教科书中探究内容；依据探究的“流畅性”来增加探究内容；依据“任务的明确性”来改编探索内容；依据“教学的现实性”来创生探究内容；从数学本质出发来引导学生探究；从数学的研究方法出发引导学生探究。这样可以使探究内容的教学成为学生创造数学知识、掌握研究方法、领会数学本质的过程。

关键词高中数学 教科书 探究内容 使用 策略

《普通高中数学课程标准（实验稿）》明确指出“高中数学课程设立‘数学探究‘数学建模等学习活动，为学生形成积极主动的、多样的学习方式进一步创造有利的条件”。依据课程标准编写的人教A版高中数学教科书，在教科书章节正文及附录部分编写了众多探究内容（正文中的观察、思考、探究与附录中的阅读与思考、探究与发现、信息技术应用、实习作业等栏目），面对教科书中的这一新生事物，教师的教学既要能体现探究内容编写的教学意图，又必须符合数学教学的规律与现实需求，这给教师教学带来了巨大的挑战。本文在深入分析教科书中探究内容的基础上，基于数学探究教学的本质及规律，提出教科书中探究内容的应用策略。

一、依据探究主线来取舍探究内容

所谓探究主线指的是统领并推进课堂探究活动的线索。探究主线往往与数学探究过程相一致。高中数学课程标准中指出的数学探究过程包括“观察分析数学事实，提出有意义的数学问题，猜测、探求适当的数学结论或规律，给出解释或证明”[1]，往往要经历“提出问题、寻找证据、得到猜想、进行论证”的四个紧密相扣且逻辑递进的环节[2]。因此数学教学过程中探究内容的选取必须紧紧围绕该数学对象的特征，并且符合探究四环节的递进关系，而不应有并列的枝节以影响学生的思维聚焦。如必修1“指数函数及其性质”正文中设计了三个探究内容，共有两个探究主题：指数函数概念的建构和指数函数性质的探寻。前者是探究内容一的意图，而后者则是探究内容二、三的指向，其中探究内容二事实上为采取纸笔作图方式获得探究内容三所需的研究对象提供了方法支持。然而教科书在本节附录的信息技术应用栏目“借助信息技术探究指数函数的性质”中，给出了获得探究内容三所需要的研究对象的另外一种办法——借助信息技术辅助作图，如果教师教学选用该信息技术应用探究内容，则探究内容二中的问题二就多余了。可见，教科书在探究内容的设计上会有并行的探究线索，教师教学中可以根据探究主线与方法对探究内容进行一定的取舍，使得课堂的探究能够集中于突破教学的重难点。

二、依据探究的“流畅性”来增加探究内容

所谓探究“流畅性”强调的是学生要能依据已有的经验自主得出探究内容的探究思路。如前所述，探究内容之间必须有递进的逻辑关系，这一方面意味着探究内容之间不能是简单的重复，另一方面也揭示着探究内容之间有着一定的逻辑上的跨度。但是鉴于已有学习经验导致的我国高中学生数学探究意识淡薄、数学探究技能薄弱和数学探究方法缺失，如果探究内容逻辑上的跨度太大，那么将会导致学生对探究无从下手。为此，教师在教学中应根据学生情况，对数学逻辑跨度较大或学生把握困难的探究内容，通过增加探究任务来缩小探究逻辑上的跨度，让学生能够窥见探究的逻辑与思路。如必修1“函数的奇偶性”课题中第33页的观察栏目，作为本课题中的第一个探究内容，其仅给出两个函数图像让学生观察后回答问题“这两个函数图像之间有什么共同特征？”随后给出函数值对应表的任务，要求学生通过列表数据的观察获得解析式规律。教科书设计了利用函数三种语言灵活转换来建构概念的探究线索，然而，这一线索的获得对于刚学过函数概念的学生而言，并不那么显而易见。教科书中填表任务的提出显得有些突兀，虽然教学中教师可以通过口头提醒数形结合或者函数三种表示方法的转化来启发学生提出解决问题的方案，但都会显得不够自然。教学中教师不妨在观察栏目之前增加一个探究内容，请同学们画出函数的图像，按照已有的经验，学生知道画图像需要列表、描点、连线这样三个步骤，这样该观察栏目填表任务地提出就显得顺其自然了。事实上，通过添加该任务，教师以比较隐秘的方式提醒学生可利用数形结合思想将函数三种表示方法进行联系和转化，这比用口头语言告诉学生的高明之处在于可以让学生主动自发地联系已有的认知经验，自己获得探究思路。

三、依据“任务的明确性”来改编探究内容

所谓“任务的明确性”即探究内容教学中必须让学生明确自己应该在探究中做什么和如何做。有些教师、学者反映探究教学只是课堂上热闹，其实学生是在讨论与教学无关的内容，从而对探究式教学法提出了批判。研究发现，由于教师设计的任务或教学指导语对学生来说不明确，学生不知道自己该做什么、该怎么做，才可能会在课堂上讨论与教学无关的话题。如必修2“倾斜角与斜率”课题中第83页的思考栏目：“日常生活中，还有没有表示倾斜程度的量？”其意在使得斜率的提出显得有一定的依据，然而这个栏目如果直接在课堂上呈现给学生来探究的话，学生往往很难自己想到“坡度”这个概念，即这个内容的探究对学生来说并不明确。不妨转换成问：“日常生活中，我们遇到过哪些与倾斜程度相关的事情？”学生能回想到：“爬坡、爬楼梯的时候，与倾斜程度相关，坡或者楼梯越陡即倾斜程度越大越费力。”教师可以接着问：“那么我们用什么量来刻画这个坡面或楼梯的倾斜程度呢？”再引导学生体会倾斜角由于工具的缺乏是不好测量的，而距离好测量，从而引入坡度的概念。相较于教材上的思考栏目，这样做可能会有更好的效果，一方面使得学生能明确知道自己在探究中该做什么——即回想生活中与倾斜程度相关的事情，另一方面能让探究与学生的生活真正联系起来，事实上，这也更能让学生体会解决数学问题与解决生活中问题的一致性（因在实际生活中测角度没有方便的工具，而测距离则轻而易举），从而渗透化归的数学思想方法。

四、依据“教学的现实性”来创生探究内容

虽然我们必须承认教科书中的探究内容有着特定的教学意图，但不意味着探究内容的教学应按照教科书的预设来进行。所谓教学的现实性，其出发点为“教学是生成的，而不是预设的”，故探究内容应符合教学的现实需求。依据教学的现实性来创生探究内容，强调的是依据教学实践中的需求来对探究内容进行创生。如必修3第96页的实习作业，安排了一次调查研究，给出了两个供学生参考的问题：一在校中学生每周使用计算机时间的调查研究；二中学生物理成绩与数学成绩之间的相关关系。这是编写者的预设来由学生进行自主探究的问题，然而学生也许对这两个问题并不感兴趣，反而可能会关心如穿越剧对中学生影响的问卷调查、学生家庭购物方式调查等等这类问题的探究。教学中不妨从问题的提出开始就完全由学生来完成，包括之后问卷的设计、样本的抽取方案、问卷的发放回收统计、调查结果的分析与汇报，以真实实现小组互动，使得探究活动能符应教学的现实需求，同时也提升探究的开放水平。

五、从数学本质出发来引导学生探究

恩格斯指出：“数学是研究现实世界中空间结构和数量关系的科学。”这个界定表明数学来源于人们的生产生活实践，脱离不开对现实世界中现象的研究和描述。事实上，数学描述的是现实世界中纷繁现象背后不变的规律，故“数学是研究变化中的不变关系或不变量的科学”这一表述也很好地揭示了数学的本质。这两种认识背后则体现出数学形成过程中需要人的工作，从某种程度上说，数学是一种人工制品，具有着属人的特性。探究作为一种数学研究活动的模拟，必须深刻体现并揭示数学的上述本质。以必修2“线面平行判定定理”中书本翻页模型的教学引导为例，解释如何从数学的本质出发来引导学生探究。在引入这个探究内容之前，教师可以对数学研究的本质进行一定的叙述；之后结合叙述请同学们观察书本翻页运动过程，寻找其中的变与不变，为此可提出两个问题：问题一，运动过程中什么对象在变，什么对象没有变？问题二，运动过程中有哪些不变的关系？对于问题一的解答，可启发学生思考立体几何的要素（线、面），对于问题二的解答，则可启发学生回顾立体几何中的关系（线线关系、线面关系）。这样，探究结论即线面平行判定定理猜想的得出可以是学生依据一定的数学研究方法，基于观察与抽象现实世界中的现象来获得，同时也揭示了数学研究对象的现实性以及变化中的不变性的特征。

六、从数学的研究方法出发引导学生探究

数学探究虽然比一般探究有着更高的灵活性，但是并不意味着探究不可操作。创造性的数学研究活动可在一定原则指导下进行，学生的数学探究活动则更多依赖于数学探究的技能和数学研究的方法。高中数学必修系列和选修1、2系列虽有部分微积分、概率统计、算法的内容，但主要处于初等数学阶段，故而数学研究的方法包括一般方法和特殊方法。一般方法指的是一般科学研究中需要使用的方法，包括观察与实验、分析与综合、比较与分类、抽象与概括、一般化和特殊化等[4～7]。特殊方法则指的是数学中特有的方法，如数形结合、化归、模型化、公理化等[8～9]。如必修2“线面垂直的判定”中，折三角形纸片实验的目的就是要通过“实验”“抽象”出线面垂直判定定理。“抽象”指从事物中区分出个别的非本质属性特质和共同的本质属性特质，并舍弃个别的非本质的属性特质而抽取出共同的本质属性的过程和方法，需要经历分离——抽取——简略三个阶段。要完成该探究内容：首先要将该模型从整个教室环境中分离出来，成为研究的对象；然后需要忽略纸张可能有厚度、桌子可能不平从而三角形底边没有能完全与桌面贴合等等干扰因素，将这个空间模型放入理想状态下来进行考察，此时桌面可抽象为平面？琢，折过的两段底边抽象为平面内相交的两条直线a，b，折痕则抽象为平面？琢外的一条直线l，且l⊥a，l⊥b，平面？琢内两条直线a与b有一个交点，且有l⊥？琢的感觉；最后需要对上述条件进行一定的组织与表述，让“l为平面？琢外一条直线，a与b为平面？琢内两条相交直线，”l⊥a，l⊥b成为条件，“l⊥？琢”成为结论，从而获得线面垂直判定定理的猜想。教师在面对这些探究内容时，应依据数学研究的方法来引导学生，让学生经历抽象的三个阶段，使学生探究真正触及数学研究的本质。

教师在选取和改编教科书中的探究内容时，要根据教学的实际需求，使得所选择的探究内容既具有数学探究的味道，有一定探究的价值，也是学生能够自主进行的。而改编探究内容的时候应以学生能自主发现探究思路为原则来进行，让学生的探究能够触及数学的本质、能真正实现探究内容编制的意图，并防止学者们指出的数学探究教学中的“滑过现象”“异化现象”“走秀”等等教学的不良倾向[10～12]。

参考文献

[1] 中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（实验）[S].北京：人民教育出版社，2003.

[2] 刘云，张广祥，黄永明，等.高中数学必修教科书中的数学探究活动分析[J].数学教育学报，2012（5）.

[3] 简冬梅.关于初中新课程函数概念教学的调查与分析[J].中学数学杂志，2010（8）.

[4] 钱佩玲.中学数学思想方法[M].北京：北京师范大学出版社，2001.

[5] 张雄，李得虎.数学方法论与解题研究[M].北京：高等教育出版社，2003.

[6] 赵振威，章士藻主编.中学数学教材教法[M].上海：华东师范学大学出版社，2004.

[7] G.波利亚.数学与猜想（第一卷）[M].李心灿，等，译.北京：科学出版社，1984.

[8] 徐利治.数学方法论选讲[M].武昌：华中工学院出版社，1983.

[9] 王宪昌.数学思维方法[M].北京：人民教育出版社，2010.

[10] 宁连华.数学探究教学中的“滑过现象”及其预防策略[J].中国教育学刊，2006（9）.

[11] 潘小明.数学探究教学中的异化现象探析[J].数学教育学报，2008（2）.

[12] 范文贵，姚艳伟.数学探究教学中存在的问题与改进策略研究[J].天津师范大学学报：基础教育版，2008（4）.

【责任编辑 郭振玲】