一类特殊的微分方程求解方法研究

赵伟舟

【摘要】微分方程在实际生活中具有广泛应用，研究微分方程的求解具有重要意义.本文针对由齐次方程衍生的一类特殊微分方程，借助变量代换和分离变量讨论了具体的求解方法.

【关键词】微分方程；齐次方程；变量代换；分离变量

1.问题的提出

称形如dydx=f（yx）的微分方程为齐次方程.对方程dydx=a1x+b1y+c1a2x+b2y+c2，当c1=c2=0时，即为齐次方程；当a1b1a2b2≠0时，可通过线性变换将其转化为齐次方程进行求解.对于a1b1a2b2=0或c1，c2不定的情况，该微分方程又如何求解呢？

2.问题的求解

对于方程dydx=a1x+b1y+c1a2x+b2y+c2，随着常数取值的不同，可以把其转化为其他类型的微分方程进行求解，下面根据二阶行列式为零的几种特殊情况分别进行讨论：

（1）当a1=b1=0，c1≠0时，

dydx=c1a2x+b2y+c2.（*1）

令u=a2x+b2y+c2，得：dudx=a2+b2dydx.

将（*1）代入上式，得：dudx-a2=b2c1u.

这是典型的可分离变量的微分方程，不妨设解为φ（u，x，C）=0（C为任意常数，下同），从而原微分方程的解为φ（a2x+b2y+c2，x，C）=0.

（2）当a2=b2=0，c2≠0时，方程可整理为：

dydx=a1x+b1y+c1c2=b1c2y+a1x+c1c2，

即dydx-b1c2y=a1x+c1c2.

这是一阶线性微分方程，直接可借助求解公式，

y=e-∫P（x）dx（∫Q（x）e∫P（x）dxdx+C），

其中P（x）=-b1c2，Q（x）=a1x+c1c2.

（3）当a1a2=b1b2=c1c2时，

不妨设比值为k，则可将原微分方程化为：

dydx=ka2x+kb2y+kc2a2x+b2y+c2=k.（*2）

显然，此时微分方程的解为y=kx+C.

（4）当a1a2=b1b2≠c1c2时，

仍令a1a2=b1b2=k，代入原微分方程，得：

dydx=ka2x+kb2y+c1a2x+b2y+c2=k+c1-kc2a2x+b2y+c2（*3）

令u=a2x+b2y+c2，则：dudx=a2+b2dydx.

代入微分方程（*3）并整理，得

u（a2+kb2）u+b2（c1-kc2）du=dx.

两边积分可得：

1a2+kb2{a2x+b2y+c2-（c1-kc2）b2a2+kb2ln[（a2+kb2）（a2x+b2y+c2）+（c1-kc2）b2]}=x+C.

3.问题的扩展

考察方程dydx=f（a1x+b1y+c1a2x+b2y+c2），右边尽管是a1x+b1y+c1a2x+b2y+c2的表达式，但变量代换令u=a1x+b1y+c1a2x+b2y+c2，整理后得到：

a2ux+b2uy+c2u=a1x+b1y+c1.

两边关于x求导，得

a2dudxx+a2u+b2dudxy+b2udydx+c2dudx=a1+b1dydx.

显然，这样的代换只能使得方程求解更为复杂.因此对这类形式的微分方程，一般通过考察a1x+b1y+c1a2x+b2y+c2的具体形式选择具体的求解方法.例如当a1b1a2b2≠0时，可通过线性变换x=X+h，y=Y+k将微分方程转化为

dYdX=fA1X+B1YA2X+B2Y.

这是典型的齐次方程，该方程的求解可以按照前面方法进行.而当a1b1a2b2=0的讨论要复杂一些，需要对内部进行整理并寻求合适的变量代换.限于篇幅，这里不再赘述.

4.结 论

微分方程的求解对研究实际问题具有重要意义，这里针对由齐次方程衍生的一类特殊方程，通过考虑参数的不同取值，基于传统的变量代换和分离变量以及现有微分方程理论，研究了不同条件下的具体求解方法.从求解过程可以看出，微分方程的求解方法完全依赖于方程的具体形式，对形式复杂的微分方程只有通过分析局部特点，简化方程形式，类比基本模型，才能获得原方程的解.

【参考文献】

[1]同济大学应用数学系.高等数学[M].第7版.北京：高等教育出版社，2014.

[2]张棣.常微分方程[M].西安：西北大学出版社，1992.