泰勒公式在高等数学解题中的应用分析

李立新

【摘要】泰勒公式在高等数学解题方面应用较广，有寻求等价无穷小量、求极限、不等式的证明、近似计算几方面的应用.本文将就泰勒公式在高等数学解题中的应用展开探讨，深入了解泰勒公式的内涵，体会其特殊的数学价值.

【关键词】泰勒公式；高等数学解题；应用分析

泰勒公式把复杂函数转变成简单函数，涉及了函数增量，自变量增量，导数等微积分计算，充分体现了微积分“逼近法”思想，通过把非线性问题转化成线性问题，简略了计算过程且计算结果确保了一定的计算精度，具有极高的应用价值.

1.用泰勒公式求等价无穷小量

在高等数学课堂教学时，我们了解了无穷小量的概念，同时还会接触等价无穷小量，同时还会了解等价无穷小量的运算公式，即当（x）～1（x），β（x）～β1（x），lim1（x）β1（x）存在时，则lim（x）β（x），同时lim（x）β（x）=lim1（x）β1（x）在实际习题演算过程中我们只能套用公式，没法通过公式的使用来寻求无穷小量的等价无穷小量，等价无穷小量在实际的高等数学函数化简过程中可以发挥着极大的作用，简化我们的化简任务.在下面的定理探讨中我们就可以有所了解.

定理：当x=a时，f（x）存在无穷小量，此时f（x）的泰勒展开式如下所示：

寻求等价无穷小量，用泰勒展开式比较容易，通过举例我们就可以发现.如：ex=1+x1！+x2！+o（x2），所以当x趋近于0时，ex-1等价于x.

如：sin（sinx）=sinx-sin3x3！+o（x4）=x-x33！+o（x4）-13！x-x3[]3！+o（x4）3+o（x4）=x-x33！+o（x4），所以sin（sinx）等价于x.

在上述的运算中极大地减少了函数代换次数，减少了函数复杂度.

2.用泰勒公式求极限

例如求极限lim6e-x2sinx-x（6-7x2）3ln1+x1-x-2x（3+x2），其中x→0.

在对此函数展开化简时，我们需要先分析该函数的结构特点与传统的化简方法，如果使用洛必达法则，不仅使用次数增加，函数形式可能更加复杂，函数基点是x→0，这时就需要使用泰勒公式展开式.基点x→0，函数的余项是皮亚诺余项，

使用带有皮亚诺余项的泰勒公式，函数阶数展开原则是一阶一阶展开，逐阶消去达到最简.针对分子6e-x2sinx-x（6-7x2）展开分析，e-x2的泰勒展开式第一项是1，sinx的泰勒展开式第一项是x，所以6e-x2sinx泰勒展开式第一项是6x，与其后的-6x相消除，第二项展开式是-76x3，还需展开第三项方便计算.分母的展开过程相似，具体的解答过程如下：

3.用泰勒公式证明不等式

针对泰勒公式的第二大高数解题应用，以下面的习题展开实际演算过程，从其证明过程我们体会出泰勒公式在证明不等式的高效性与简易性.

例如：证明x>0，x-x22

证明：当x>0时，根据泰勒公式，可以将ln（x+1）展开如下形式：

综上得出结论：

结语 最符合实际生活的应用是用泰勒公式进行近似计算，它不仅计算简单还保证了计算结果具有极高的精确度，但在实际应用中需要做好区分，并不是所有的近似计算函数估值都适用泰勒公式，泰勒公式的选择需要控制好使用条件，限制条件中需要满足函数需要具备n 阶连续可微函数，并且阶数越大函数的精确度越高，需要根据学习经验进行选择.