利用空间向量解决空间距离与空间的角

陆清煌

随着新教材的推广，用空间向量的有关知识解决立体几何的位置关系和空间角和距离问题比较方便.利用向量方法研究立体几何问题主要包括两方面，一是利用空间向量的运算论证空间线线、线面、面面的垂直与平行关系；二是利用空间坐标系与向量方法解决空间角与距离的计算问题，本文主要研究利用向量方法计算空间角和距离.

一、空间向量与空间距离

点面距离公式：平面α的法向量为n，P是平面α外一点，点M为平面α内任一点，则P到平面α的距离d就是MP在向量n上射影的绝对值，即d=|n·MP|n.

例1 如图，四面体ABCD中，O，E分别是BD，BC的中点，

CA=CB=CD=BD=2，AB=AD=2.

（1）求证：AO⊥平面BCD；

（2）求点E到平面ACD的距离.

分析 本小题主要考查直线与平面的位置关系、异面直线所成的角以及点到平面的距离基础知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力.

方法一 用传统的几何法证明：

（1）连接OC，证明略.

（2）解：设点E到平面ACD的距离为h.

∵VE-ACD=VA-CDE，∴13h·S△ACD=13·AO·S△CDE.

方法二 建立空间直角坐标系，利用向量，且将向量的运算转化为实数（坐标）的运算.

（2）解：以O为原点，如图建立空间直角坐标系，则B（1，0，0），D（-1，0，0），

C（0，3，0），A（0，0，1），E（12，32，0），BA=（-1，0，1），CD=（-1，-3，0）.

设平面ACD的法向量为n=（x，y，z），则

n·AD=（x，y，z）·（-1，0，-1）=0，n·AC=（x，y，z）·（0，3，-1）=0，

∴x+z=0，3y-z=0.

令y=1，得n=-3，1，3是平面ACD的一个法向量.

又EC=-12，32，0，

∴点E到平面ACD的距离

h=EC·nn=37=217.

二、空间向量与空间的角

1.异面直线所成的角

异面直线a，b的方向向量分别为m，n，其向量的夹角为θ，直线a，b所成的角为α，α∈（0，π2]，则cosα=|cosθ|=|m·n||m||n|.

2.直线与平面所成的角

直线a的方向向量为m，平面α的法向量为n，直线a与平面α所成的角为θ，则有sinθ=|cos|（互余的关系），即θ=π2-arccos|m·n||m||n|.

3.平面与平面所成的角

平面α与平面β的法向量分别为m，n，设平面α与平面β所成的角为θ，则θ与法向量m，n的夹角相等或互补.

①当二面角α-l-β大于90°时，则二面角θ=π-arccos|m·n||m||n|；

②当二面角α-l-β不大于90°时，则二面角θ=arccos|m·n||m||n|.

例2 题干、（1）问、（2）问同例1.

（3）求异面直线AB与CD所成角的大小.

（4）求直线AE与平面ACD所成角的大小.

分析 （3）∵cos=BA·CDBACD=24，

∴异面直线AB与CD所成角的大小为arccos24.

（4）∵AO⊥面BCD，∴AO=（0，0，1）为面BCD的一个法向量.

∴cos〈AO，n〉=AO·n[]|AO||n|=（0，0，1）（-3，13）[]7=21[]7.

则二面角A-CD-B的余弦值为21[]7.

用传统方法解立体几何题，需要有较强的空间想象能力、逻辑推理能力以及作图能力，同学们往往由于这些能力的不足而感觉解题困难，空间向量的引入为处理某些立体几何问题提供了一种新的途径，利用空间向量处理某些立体几何问题，可以为学生提供新的视角.把立体几何问题转化为空间向量问题，借助坐标系进行代数运算，利用向量的方法解决几何问题是新教材中解决立体几何问题的一个重要方法.