一元函数不定积分凑微分法求解技巧的几点思考

范云晔

【摘要】一元函数不定积分计算是微积分计算中的重要内容之一，也是高职的学生学习高等数学的重点和难点之一.本文根据几道求不定积分的题目，针对凑微分法（第一类换元法）使用的特性，总结归纳凑微分法求不定积分的分类与技巧，提出分析此类题目的一种方法.

【关键词】一元函数不定积分；凑微分法；被积函数；函数乘积

在高职高等数学的课程中，一元函数不定积分计算是微积分计算中的重要内容之一，也是高职学生学习高等数学的重点和难点之一.在高职的课本中主要介绍了不定积分计算的直接积分法、第一类换元法（凑微分法）、第二类换元法和分部积分法四种计算方法，其中重点介绍利用凑微分法（第一类换元法）求解一元函数不定积分.

如何选择合适的方法来解不定积分，主要取决于被积函数的形式.一般来说，被积函数“通过化简、拆项、三角恒等变形和因式分解后约分等”[1]初等变换后，可以视为若干个积分基本公式中所出现的被积函数相加减的形式时，该道不定积分就可以利用直接积分法计算了.如若不能，则就要采用换元法和分部积分法进行不定积分计算了.

凑微分法计算不定积分其实就是借用复合函数的微分法反过来进行求解，其求解步骤可归纳为公式

在此过程将被积函数g（x）视为两个函数的乘积形式，其中较为复杂的一个函数视为f[φ（x）]，另一个较简单的函数视为k·φ′（x）（k为非零常数）.在整个计算过程中，解题的重点就在对被积函数的转换和复杂函数的分解的分析，“其关键是根据具体的被积函数，进行适当的凑微分后，能依托于某一个基本积分公式.”[2]

针对被积函数的形式和特点，归纳相应转换和分解的规律，可以得出以下几种凑微分法求解不定积分的方法和技巧：

一、被积函数中含有复合函数

当被积函数中含有复合函数，且可以利用凑微分法计算不定积分时，只需依据复合函数分解的原则对相关的复合函数进行分解，微分du即可凑成，则该不定积分就能计算出来.

（一）被积函数中只含有一个复合函数

对于被积函数只含一个复合函数的形式的不定积分，首先将被积函数视为常数1与复合函数相乘积的形式；接着，对复合函数进行分解得出u，观察发现du等于常数与dx的乘积；最后，根据凑微分法的五个解题步骤计算出不定积分.

（二）被积函数可视为复合函数与另一函数乘积形式

利用凑微分法解决此类型的不定积分，其首要步骤同样是对被积函数中的复合函数进行分解.

当被积函数分解完成后，可以发现：φ′（x）与另一函数相比就相差一个非零常系数k.同时f（u）又是积分基本公式中的一种被积函数形式，所以通过解题步骤就可以将这个不定积分轻松地计算出来.

（三）被积函数可视为复合函数与另一函数相除形式

当被积函数为一复合函数与另一函数相除形式的时候，想要利用凑微分解这样的不定积分，首先要将被积函数转化为一函数的倒数形式与另一函数的乘积形式.再对新的复合函数进行分解，观察φ′（x）与另一函数相比是否相差一个非零常系数k.若否，就要考虑其他方法；若是，就是用（二）的方法解决该不定积分.