基于stolz定理在应用中的一点说明

王永静

【摘要】文章给出了stolz定理在解决一些特殊极限中的应用以及在使用过程中的一点注意事项.

【关键词】待定型数列极限；stolz定理

极限问题是高等数学中常见的问题，其中类似于无穷大比无穷大，无穷小比无穷小或者是无穷大与无穷小的乘积等，它们的极限是待定的.讨论待定型数列的极限，往往并不容易，需要根据具体情况进行讨论.而在单调数列的场合下，stolz定理为求解一些待定型极限带来了极大的方便.

定义 如果数列{xn}满足

xn≤xn+1，n=1，2，…，则称{xn}为单调递增的数列，

若xn

stolz定理 设{yn}单调递增的正无穷大量，且limn→∞xn-xn-1yn-yn-1=a（a为有限量，+∞，-∞），则有limn→∞xnyn=a.

下面给出stolz定理在一些待定型极限中的应用：

例1 利用stolz定理，证明：limn→∞nkan=0.

证明 limn→∞nkan=limn→∞nk-（n-1）kan-an-1=limn→∞Pk-1（n）an-1（a-1），

其中Pk-1（n）为关于n的k-1次多项式；重复上述过程即可得到

limn→∞nkan=limn→∞Pk-1（n）an-1（a-1）=limn→∞Pk-2（n）an-2（a-1）2=…=limn→∞P0（n）an-k（a-1）k=0.

例2 设0<λ<1，limn→∞an=α，证明limn→∞（an+λan-1+λ2an-2+…+λna0）=α1-λ.

证明 令k=λ-1，则有：

an+λan-1+λ2an-2+…+λna0=knan+kn-1an-1+kn-2an-2+…+a0kn.

利用stolz定理，

limn→∞（an+λan-1+λ2an-2+…+λna0）=limn→∞knan+kn-1an-1+kn-2an-2+…+a0kn=limn→∞knankn-1（k-1）=α1-λ.

例3 求极限limn→∞∑nk=1k！n！.

方法一

∑nk=1k！=1！+2！+3！+…+（n-2）！+（n-1）！+n！≤（n-2）！+（n-2）！+…+（n-2）！+（n-1）！+n！=（n-2）（n-2）！+（n-1）！+n！<2（n-1）！+n！因此有，1=n！n！<∑nk=1k！n！<2（n-1）！+n！n！，

而limn→∞2（n-1）！+n！n！=1，利用夹逼定理可知，limn→∞∑nk=1k！n！=1.

然而本题利用stolz定理求解更为简单.

方法二

不妨设xn=∑nk=1k！，yn=n！，显然{yn}单调递增并且yn→+∞，

limn→∞xn-xn-1yn-yn-1=limn→∞n！n！-（n-1）！=limn→∞nn-1=1.

例4 设∈R，求极限limn→∞∑nk=1k+1n∑nk=1k.

解 不妨设xn=∑nk=1k+1，yn=n∑nk=1k，显然yn=n∑nk=1k→+∞.

limn→∞xnyn=limn→∞（n+1）+1n∑nk=1k+（n+1）+1.

当≤-1时，limn→∞xnyn=0，

当>-1时，limn→∞xnyn=limn→∞（n+1）+1n∑nk=1k+（n+1）+1

=limn→∞1nn+1+1·1nn∑nk=1kn+1=1∫10xdx+1=+1+2.

由以上例题充分说明了stolz定理在求解一些特殊的待定型极限中有很好的应用，然而在实际应用中，stolz定理有严格的要求.在定理中limn→∞xn-xn-1yn-yn-1必须是有限量，+∞或 -∞，否则定理将失效.

limn→∞xn-xn-1yn-yn-1=∞，能否利用stolz定理得出limn→∞xnyn=∞的结论？

答案是不能，若xn=（-1）nn，yn=n，则有limn→∞xn-xn-1yn-yn-1=limn→∞（-1）n（2n-1）=∞，

但是limn→∞xnyn=limn→∞（-1）n，极限不存在.

同样的，若limn→∞xn-xn-1yn-yn-1不存在，同样不能得出limn→∞xnyn不存在.

不妨设xn=1-2+3-4+…+（-1）n-1n，yn=n2，

显然有limn→∞xn-xn-1yn-yn-1=limn→∞（-1）n-1n2n-1，极限不存在，但是limn→∞xnyn=0.

因此limn→∞xn-xn-1yn-yn-1=a（a为有限量，+∞，-∞）是limn→∞xnyn=a的充分不必要条件，在实际应用时要特别注意.

【参考文献】

[1]裴礼文.数学分析中的典型问题与方法[M].北京：高等教育出版社，1993.

[2]陈纪修，於崇华.数学分析[M].北京：高等教育出版社，1999.