关于有心二次曲线的一个结论

叶萌

【摘要】顾名思义，有心二次曲线，即有对称中心的二次曲线.而对称图形往往有很多优美的性质，引发人们无限的思考和遐想.笔者在做一道题目时对题目中的结论展开了拓展与探究，并总结出一个一般性结论.

【关键词】有心二次曲线；切点弦；无穷远

论题的导入

题 已知圆C：x2+y2=1，直线l：x+y-3=0，P为l上任意一点，过P做圆C的两条切线，切点分别为A，B，切点弦AB的中点为M.当P变化时，求M的轨迹方程.

解 设P（a，b），A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0）.则PA直线方程为x1x+y1y=1，PB直线方程为x2x+y2y=1，PA，PB都经过P点，故x1a+y1b=1，x2a+y2b=1，由两点确定一条直线得切点弦方程为ax+by=1.代入M（x0，y0）得ax0+by0=1.而由射影定理OA2=OM·OP知1=x20+y20·a2+b2.即1=（x20+y20）（a2+b2）=（x0a+y0b）2+（y0a-x0b）2=1+（y0a-x0b）2.

∴（ay0-bx0）2=0，即ay0-bx0=0，联立y0a-x0b=0，x0a+y0b=1，得a=x0x20+y20，b=y0x20+y20，又P为直线l：x+y-3=0上的点，代入得到x20+y20-x0+y03=0.故M的轨迹方程为x2+y2-x+y3=0.

一般地，我们把方程形如u（x-m）2+v（y-n）2=1（u，v不同时为负）的曲线称为有心二次曲线，其中点（m，n）称为曲线的中心，并给出以下结论：

结论 对有心二次曲线Γ：u（x-m）2+v（y-n）2=1，P为Γ外直线l：Ax+By+C=0上任意一点，过P做Γ的两条切线，切点分别为S，T.则切点弦ST的中点ω的轨迹仍为有心二次曲线，且其轨迹方程为：

u（x-m）2+v（y-n）2+A（x-m）+B（y-n）Am+Bn+C=0.

证明 从定义我们可以看到S，T为ω的相关点，而Γ为S，T的相关曲线，并且S与T由P和Γ唯一确定，P又为l上任意一点，故经过ω的二次曲线系方程可设为：

u（x-m）2+v（y-n）2-1+μ（Ax+By+C）=0.（·）

到这里，我们已经可以确定ω的轨迹为有心二次曲线，接下来如何找到恰到好处的条件解出μ成为关键.

事实上，根据射影几何观点，Γ固定，当l上的点P趋向于无穷远时，其两条切线可视为平行，而当有心二次曲线的两条切线平行时，其切点弦必过曲线中心.（）

（）的证明也很容易：对有心二次曲线Γ：u（x-m）2+v（y-n）2=1，

两边同时对x求导得2u（x-m）+2v（y-n）·y′=0，设S，T的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），则u（x1-m）+v（y1-n）·y′=0， （a）u（x2-m）+v（y2-n）·y′=0.（b）

（a）+（b）2得ux1+x22-m+vy1+y22-n·y′=0.

当y′变化时，ST中点的轨迹恒经过点（m，n）.

将（m，n）代入（·），解得μ=1Am+Bn+C，则ω的轨迹方程为

u（x-m）2+v（y-n）2+A（x-m）+B（y-n）[]Am+Bn+C=0（注：方程经（m，n）但其轨迹抠去此点）.

【参考文献】

[1]陈天雄.有心二次曲线的直径式定义和直径式方程——对一道习题的研究性学习[J].数学教学，2004（5）：41-43.

[2]张文海.有心二次曲线的一个有趣性质[J].中学数学研究，2012（8）：33-35.

[3]金益.有心二次曲线的一个定值性质[J].中学数学月刊，2013（6）： 46-47.

[4]谢鹏作.有心二次曲线的一个性质[J].河北理科教学研究，2013（5）：50-51.

[5]王伯龙.有心二次曲线焦点三角形面积的一个计算公式[J].数学通讯，2011（22）：43.