数学中的“温故”与“知新”

潘城阅

正所谓“温故而知新”，古人所推崇的学习方法为今天的高中数学学习提供了很好的借鉴.所谓“温故”，在数学中，个人认为不仅是温习旧知识，更是温习学习方法、解题思路、思维方式，总体来讲就是进行一次解题反思，这个过程符合数学知识在大脑中思维演变的发展规律，契合学生对数学逻辑的认知和理解过程，有效地应对高中数学知识点变式复杂的考查模式.而在当下的高中数学教学中，对解题反思的研究和实践缺少科学的认识和应用，多数老师更依赖传统的题海模式，这无疑对教学效率、学习收效都产生了不利的影响.所以我们提倡在教学实践中，积极地开展解题反思教学，培养师生的反思意识，提高“教与学”的效率.

一、反思题目内容，发掘问题本质

数学的学科特点是知识点多，但有规律可循；题目的变式复杂，但考查的本质固定.所以当我们对于看似陌生的题目，寻找到对应的解题方法解决题目后，应该对题目的出题目的、思路、问题的设计进行有针对性的反思.对题目的反思是解题反思的重要环节，这个过程有助于我们发觉题目的考查本质，有针对性地选择解题方法，避免落入题目设计的陷阱.

以一道高考模拟题为例：为得到函数y=cos2x+π3的图像，只需将函数y=sin2x的图像怎么移动即可？A：向左平移5π12个长度单位；B：向右平移5π12个长度单位；C：向左平移5π6个长度单位；D：向右平移5π6个长度单位.对题目进行反思主要反思两个方面：一是题干内容，确定题目主要考查的范围是三角函数的内容，提问的方式可以反映出解题步骤中存在三角函数的转化；二是答案设置，答案中存在“左右”的变化，反思可以帮助我们注意计算中符号的关系，而两个不同的分数关系提醒我们注意系数的关系.

通过对题目的反思，我们的目的不仅仅是掌握一个类型题目的表述方式，更可以提炼出这个类型题目需要注意的地方，也是出题者习惯设置“陷阱”的位置.对题目的有效反思主要是通过对题干的解读，剖析题干所包含的本质属性，同时结合变式的运用，可以举一反三设计更多的题目进行分析练习.

二、反思解题思路，归纳解题技巧

众所周知，数学应用中有很多广泛使用的解题技巧，可以针对一类甚至几类题型发挥积极的作用.同时解题技巧又是一种数学思维在大脑中的升华和创造，是数学学习的精髓.但是同学往往不能自己总结和归纳出有效的解题技巧，而盲目大量的练习设计又会使得学生对学习产生倦怠感.而利用解题反思的策略可以很好地帮助学生归纳解题技巧，提高学习效率.

同样以上题为例，解题过程为：y=cos2x+π3与函数y=sin2x可以通过三角函数关系来建立变形转化关系，即：y=cos2x+π3=sin2x+π3+π2，进行整理得：y=sin2x+5π6，化简为y=sin2x+5π12.这类题型一直是历年高考的“常客”，题目看似不难，但出错概率不小.我们对这类题型进行反思发现：其实题目考查的是正余弦的变换知识点，解题的“题眼”是cosα=sinα+π2关系的建立.并且通过本题的反思，我们应同时联想α为任意角时，α与-α，α与π±α和π2±α的三角函数关系，以及准确掌握这些相关公式的特点的策略.相反我们还可以收集涉及正切、余切的同类题目进行类似的反思过程，归纳规律性的解题思路.

可见解题过程的反思过程，可以针对一道题来联想相关解题方法，也可以针对一类题，来归纳解题的通用技巧.反思的过程可以是一个发散思维的过程，也可以是一个思维内化的过程.我们需要利用反思来帮助学生在有限的时间内、在代表性的题目中掌握适用性强的解题方法和策略.

三、反思错误原因，培养数学思维

就如例题所述的题型，这类题目我们常讲，但同学却常错.不是学生不用心，也不是老师不投入，究其原因可能是应对的方法不科学.对于做错的题目，我们鼓励师生一同进行错题反思，目的有两个：一是帮助学生了解错误原因，为下次类似题目的出现做好防范；二是帮助老师透视学生容易犯错的环节，从而设计有针对性的教学内容.

仍然以上题为例，答案中给出的四个选项都有被选择的情况.反思错误发生原因：一是相对移动的方向发生了错误，这是由于对y=sin2x+5π12中“+”号对移动方向的影响不明确；二是移动的长度产生了错误，这可能由于同学对y=sin2x和y=sin2x+5π6的函数部分的计算掌握不准确，造成了变形后可能计算为y=sin2x+5π6的错误情况.通过反思，老师针对错误的原因侧重设计教学策略：归纳y=sin（x±α），明确移动时遵循“+”向左、“-”向右的记忆模块；另外强调做题中注意在函数运算时系数变化.

错题的反思可以直接帮助老师设计针对性的课题内容，帮助同学了解自身所欠缺的解题逻辑，锻炼解题所需要的逻辑思维.更重要的是，反思的过程是一个自主的逻辑内化的过程，也是一个主动学习习惯养成的过程.通过有针对性的反思过程，从主观到客观，从“教与学”的两面，为培养学生的数学思维做积极的努力.

四、反思评阅过程，强化解题定式

解题定式有别于解题技巧或解题方法，后者是解题中具体的实施策略，其可能包含解题的思路、公式的运用、计算的过程；而前者则是一种解题的规范步骤，对于某一类题型的解题的具体流程规范，它广泛地适用于同一类型的题目.虽然解题定式不是一种解题的方法，但是解题的定式可以有效地帮助同学在解题困惑时有章可循，迅速地进入解题的角色.

如以上题为例，虽然这是一道选择题，但是它的变形可以是填空题或是解答题的一个步骤.选择题和填空题老师鼓励学生进行简便计算是没有问题的，但是如为一个解答题的一个环节，那就需要掌握解题定式.对这类题型的评阅过程进行反思可以发现，解题步骤中的关键因素是cosα=sinα+π2这个诱导公式的选择，所以在定式中我们要将这个关键因素体现：表述为，欲求cosα与sinα图像的变化关系，则根据cosα=sinα+π2的诱导公式得：y=cos2x+π3=sin2x+π3+π2（化简步骤省略）.这个解题定式在解答题中显得格外重要，不仅可以得到相应的解题步骤分，而且为余下题目的计算奠定解题基础.

解题定式其实可以形象地比喻为为解题的过程打开一扇窗户，而往往学生很少能意识到它在解题中起到的作用，只有通过反思教师的评阅内容，才能意识到这个步骤的重要性.当然在评阅的反思中，还应该积极地总结解题定式中的其他环节，只有对定式充分地认识，才能把握好步骤的得分点，即使解题思路不明确，按着解题定式来开展运算，逐步地发掘题目的本质，也能从容地应对困难的题目.

五、反思教学过程，明确教师角色

以上都是老师引导学生进行反思的过程，当然在整个教学过程中，老师也应进行积极的反思.老师进行反思的内容有很多，可以反思课堂中老师所扮演的角色，可以反思所应用的教学方法和策略，还可以反思师生间互动和交流的过程，等等.反思的目的是为今后的教学方法创新积累经验、为活跃课堂气氛寻找方法、为提高教学效率总结策略.

例如当老师进行角色反思时，可以通过设问的方式来反思自己在教学的各个阶段所扮演的角色：在新课程的导入阶段，是简单地进行背景的介绍，还引导学生由浅入深地进行自主的探究？在新知识的讲授阶段，是介绍方法结合题目练习，还是师生互动，结合例题一同归纳解题方法？在知识的总结阶段，是利用传统的思维导图帮学生梳理一节课的内容，还是引导学生自主归纳，培养数学思维模式？通过这一个个问题，老师可以反思自己在教学中所扮演的角色，是否有喧宾夺主的情况发生？是否背离了教学中学生为主体的教学本质？

由于受到传统教学思想的影响，很多教师在教学中的角色没有发生本质上的转变，“以师为本”的教学思想固化严重，这无疑背离了素质教育的根本要求.通过对教学过程的反思，让老师真切地认识到自己的角色和定位；通过对教学互动的反思，让老师体会到以教师为主导教学模式的弊端；通过教学方法的反思，让老师意识到学生在教学过程中角色的缺失.只有教师从反思中发现问题，才能激励自己主动去创新教法，转换角色，以“学生为本”的教学理念才能真正地在教育中生根发芽.

综上所述，反思意识虽然是教法与学法的创新，但其具有深深的历史印记.它反映出数学的学习是一个逻辑思维的成型过程、也是一个思维模式的转化和变化的过程，只有在反思中不断求真，在反思中不断累积，才能具有识别题目考查本质的“慧眼”、才能掌握撬动复杂变式题目的“杠杆”、才能拥有打开数学之门的“钥匙”.更重要的是，老师与学生的反思过程是一个主动求真、求实的过程，是学生自主学习的体现，也是老师教学创新的基础.所以作为老师，我们不仅鼓励学生进行学习反思，也要主动开展教学反思，在反思中促进师生的和谐发展和学科的长足进步.