基于数学核心素养的数学教学——以《数系的扩充》为例

☉江苏省常熟市尚湖高级中学 苏振新

基于数学核心素养的数学教学
——以《数系的扩充》为例

☉江苏省常熟市尚湖高级中学 苏振新

一、问题的提出

自从新课程改革以来，教育越来越关注学生核心素养的发展，而具体落实这些要求的根本在于课堂.“课改的关键是改变学生的学习方式，而关键的关键是改变教师的教学行为”，笔者认为：“教师的教学行为一定是受某种数学教学的信念所影响”.研究表明：教师如果不能很好的理解《数学课程标准》，更新教学理念，那么数学教育依然不能走出深水区.为了能够真正在课堂教学中落实好《数学课程标准》，真正提高学生的学科素养，让学生具有深刻情感体验的教学设计就显得尤为重要.在《注重培养“四基” 提高数学素养》一文中，清楚指出“四基”，就是这些学生“获得适应社会生活和进一步发展所必需的数学的基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验”.怎么样在课堂中渗透数学核心素养，是一线教师现在必须要考虑的问题，下面笔者以《数系的扩充》为例，谈谈如何提升学生的核心素养.

二、教学设计案例分析

活动一：问题引入

完成下列问题，并互相讨论交流.

（1）x+2=0，x∈N;

（2）2x+3=0，x∈Z;

（3）2x2+2=6，x∈Q.

以上三道方程在限定的范围内都没有适合的解，同学们通过回顾自己的学习经历可以发现课本上是通过扩展数集的办法来加以解决的，这一系列的过程使得数集由刚开始的自然数集扩展到同学们现在所知道的实数集，从而自然引入无理数的概念.

设计意图：让学生在问题的处理过程中了解到问题的冲突所在，使他们了解到此种数集的持续扩充和问题的解决阶段.

利用小组探讨与学生的独立思考，部分学生可以发现在数集的扩展过程中可以解决更多的实际问题，同时数集的扩展过程也是数和数学学科自己发展的必然要求.数集的扩充同时遵循以下几个共同特征：第一，都有新的数被引用进来；第二，都满足乘法对加法的分配律、交换律和结合律.

活动二：数学建构

师：请同学们认真思考一下，方程x2=-1在R上是否有解？

此问题有一定的难度，教师可以参与到学生的活动之中，给予学生一定的帮助.

与活动一中的问题一样，此方程无解，参照上面的研究方法，需要引入新数，这时教师追问：引入的新数需要满足哪些条件？

最后讨论后达成共同认知：需要引进新数来解决问题，不过该数需要达到活动二中的相关规律：引进的新数与实数之间需要达到上述三种运算规则.

设计意图：利用解决该问题，使学生体会到数值不足，进而引进新数是十分关键的，从而激发他们的求知欲望与研究欲望.

活动三：新数运用

根据前面几次数的扩充，请类比写出新数i与实数可能会产生的代数式，并写出来.

学生写出：3i，-7i，3+2i，23-i，……

教师提示：同学们所写出的形式能否把它们归类呢？

学生展示：学生通过思考和小组讨论可能写出如下的形式：a+i，ai，a+bi等.

教师提问：同学们所写的形式能否用一个统一的形式来表示？

设计意图：本活动以师生互动为主，学生在老师的点拨下，很好地掌握了新数i与实数的乘法满足的交换律，教师及时的点拨，因此同学们很自然的理解a+bi（a∈R，b∈R）的形式.这样就能很好地解决学生由于知识的生疏所产生的障碍.

活动四：答疑解惑

a+bi（a∈R，b∈R）的式子中是否包含同学们以前学过的所有的实数？产生了哪些新数？如果用一个新的集合C来表示，集合C与以往的实数集R相比有了哪些变化？请同学们先独立思考然后小组内讨论，在此过程中教师可以参与到学生的活动中.

成果分析：在新数a+bi（a∈R，b∈R）构成的集合C中包含了同学们学过的所有的实数，同时还包括了新数bi（b≠0），新数，a+bi（a∈R，b∈R）（a≠0，b≠0）.

教师总结：通过同学们自己的探索我们今天发现了一种新的数集C=｛a+bi|a∈R，b∈R），定义新数为复数a+bi（a∈R，b∈R），其中i为虚数单位，由所有的复数所组成的数集称为复数集，形式为C=｛a+bi（a∈R，b∈R）｝.通常用一个字母来z表示，所以复数又可以表示成z=a+bi（a∈R，b∈R，a≠0，b≠0）的代数形式.注：a，b分别称为复数z的实部和虚部，其中z=a+bi（a∈R，b∈R，a≠0，b≠0）称为虚数，形如bi（b∈R，b≠0）的数称为纯虚数.

设计意图：由实数到复数的数系扩充过程中完全是由学生的自主探索产生的，因此学生对概念的理解也比较透彻，知识的生成过程中也比较自然，学生对新旧知识的区别也比较清晰.

活动五：具体应用

请同学思考、讨论（小组内）复数z=a+bi（a∈R，b∈R），分别满足何种条件时表示实数、虚数、纯虚数及实数0？并把结果分类展示在黑板上.

成果分析：b=0⇔z=a+bi（a∈R，b∈R）为实数；

b≠0⇔z=a+bi（a∈R，b∈R）为虚数；

a=0，b≠0⇔z=a+bi（a∈R，b∈R）为纯虚数；

a=b=0⇔z=a+bi（a∈R，b∈R）为实数0.

设计意图：通过复数的分类让同学们更加理解复数与实数、序数之间的内在关系，更重要的是要让学生清晰复数为虚数和实数，以及纯虚数的充要条件分别是什么，为今后的解题做好充分的知识准备.

活动六：关联问题

请大家思考复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间存在的关联，且使用符号与图形进行相应的表示.

设计意图：教学活动到这一步时，学生的知识水平已经有了一定的提高，已经能够独立处理一些基本问题了，同时也考查了学生对新知识的掌握程度.

活动七：运算规则

对于复数z1=x+yi（x∈R，y∈R），z2=m+ni（m∈R，n∈R）分别满足什么条件时复数z1=z2？

设计意图：本题可以考查学生对于复数所满足以往数的运算规则的运用，同时也说明了复数相等的内涵（充要条件）.

活动八：归纳总结

请同学们思考任意的两个复数之间能否比较大小？

设计意图：本环节是对学生综合运用知识能力及对知识的整合能力的考查，教师可以加以引导，这一环节也可以放在本节课的总结部分来阐述.

三、教学思考

高中数学课程标准非常重视“探索、探究”和“自主、自觉、自己、独立”等关键词.本课例以学生活动作为重要基础，改变他们的学习方法是落实高中数学课程的基础理念、基本要求的重要途径.课标还进一步强调，学生的数学活动不应该只约束在对基本定义、结论与技能的理解、模仿与认可，单独思考、积极研究、主动实践、合作沟通、阅读自学应该变成学习数学的主要方法.为了在真正意义上提升他们的数学素养，就必须要改善课堂太过重视基本知识教授的倾向，改善课程实行太过重视接受学习、死记硬背、机械训练的现象.

学生是学习过程中的重要主体，从他们的思维特征进行分析，基本概念的认知是在学生已有理论的前提下再次建立知识的阶段，加之数学概念并不是世界中的真实存在.所以，他们在对基本概念进行学习过程中，先要在大脑中建立起相关的景象，也就是所有的教学活动最后均以主体上产生作用为最后目的，对象阶段是由概念衍生开来的性质探求、运算、证明等，所以，教师在概念教学中要充分研究自己的学生，根据学生的思维特点，从而决定在概念教学中设计什么样的提问，能最大限度地调动学生对基本概念的了解，课堂提问需要是由简单到困难，从简单与复杂，由浅入深，从形象到抽象，循序渐进，如此才可以让他们的思维由“未知”朝着“最近发展区”发展，最终由对象阶段向图式阶段转化.

随着数学数学课程改革的不断推进，数学课程改革已经进入“深水区”，如何走出这个深水区，是我们当前面临的最大问题.而过程完整化教学理论指导下的教学设计能够落实课程标准中对学生的三维目标.完整化的教学过程就是指教师必须提出一些本学科“真正的结构化问题”，而不是人为编造的问题，也就是说首先必须要用“本源性”的问题驱动学生的学科学习，这是最根本的；其次，要使学生的数学学科素养落到实处，让学生在数学课堂上进行“数学建模”就是最有利的抓手.