基于分位数回归的幂多项式在数据分析中的应用

王江荣,袁维红,赵 睿,任泰明

(1.兰州石化职业技术学院 信息处理与控制工程系，甘肃 兰州 730060；2.兰州石化职业技术学院 土木工程系，甘肃 兰州 730060)

基于分位数回归的幂多项式在数据分析中的应用

王江荣1,袁维红2,赵 睿1,任泰明1

(1.兰州石化职业技术学院 信息处理与控制工程系，甘肃 兰州 730060；2.兰州石化职业技术学院 土木工程系，甘肃 兰州 730060)

针对路基沉降与观测时间存在非线性关系，且传统最小二乘参数估计精度不高的问题，建立具有较强逼近能力的幂多项式路基沉降预测模型，并用分位数回归估算模型系数。工程实例表明，基于分位数回归估计的幂多项式预测模型具有较高的精确度，优于最小二乘估计的幂多项式预测模型和多变量灰色预测模型，为沉降预测提供一种新方法。

高速公路；路基沉降；幂多项式函数；分位数回归；沉降量预测

高速公路在施工期和工后运营期均存在着路基沉降问题，利用现场沉降观测量准确预测后期沉降量，对于公路施工质量监管、道路安全、公路维护等具有重要的实现意义，同时为公路管理等部门提供科学的决策依据。现有的沉降预测方法主要采用回归分析模型、统计模型、组合模型[1-5]、神经网络[6]和灰色理论[7]等，这些模型的参数估计大多采用了最小二乘估计法，该估计法要求模型的随机误差服从独立同分布且呈正态分布，但在实际沉降问题中，受多因素影响[8-9]，估算出的参数并非最优，得到的模型稳健性较差，预测精度不高。与传统最小二乘回归相比，分位数回归是一种非常稳健的参数估计方法[10-12]，模型参数的估计结果不会受异常观测数据的影响，且对模型的随机误差项无任何要求，克服了最小二乘估计法的不足。另外，用最小二乘法建模时只能得到一个回归方程，容易丢失数据信息，致使所建模型难以对预测量进行准确预测；用分位数回归估算模型参数时在不同分位点上估算出的模型参数往往不同，因而可以得到多个不同的回归方程，从而在不同的分位点上预测结果不同，为决策者提供了多种选择，以便选出符合实际的回归方程。由于沉降观测数据列具有非线性特征，而幂多项式函数具有良好的数据适应能力和实际曲线逼近能力。基于此，本文建立基于分位回归估计的幂多项式模型，并对建模以外的路基沉降观测量进行预测分析，结果表明该模型具有较强的预测能力和更高预测精确度。

1 分位数回归方法介绍

分位数回归方法最早由Koenker和Bassett提出[13]，该方法是一种全面数据分析方法，具有很强的抗干扰能力和稳健性。

设FY|X(y)为在随机变量X下Y的条件分布函数，则Y的第τ∈(0,1)个条件分位数为

(1)

其中，inf(•)表示下确界函数。

(2)

式(2)的估计式等价式(3)：

(3)

可见，分位数回归是通过最小化样本观测值与样本拟合值的加权误差绝对值之和来估算模型参数的；而传统最小二乘回归则是通过最小化误差平方和来估算模型参数值。

用分位数回归建模时得到不同分位点的回归

方程，决策者从中选择最能反映实际问题的回归方程，解决问题更具灵活性。

2 幂多项式模型

2.1 幂多项式模型及线性化

软基路基沉降的基本特征:初期阶段沉降逐渐增加，中期阶段沉降加速发展，后期阶段沉降变缓并趋近于一个定值(进入稳定状态)。因此，沉降量S与时间t呈非线性关系，进而知S-1与t-1也呈非线性关系。因多项式函数具有较强的数据适应能力和实际曲线逼近能力，所以可选用多项式函数对路基沉降量进行拟合预测。由于幂多项式对观测数据无过多要求，因此本文采用幂多项式来逼近S-1,即建立模型：

(4)

(5)

线性化后的模型(5)可方便地利用分位数回归估计其参数β0，β1，…，βn。

2.2 模型参数的分位数回归估计

依据分位数回归的基本原理，构造模型损失函数：

(6)

式中：m为建模数据列长度，

Si为第i个观测沉降量，则模型的参数估计值

3 算例分析

3.1 数据来源

数据源自京哈(G102线)软基公路长春至德惠路段的K1144+240断面上的某监测点，观测以15天为1个周期，所得观测数据见表1[15]。

表1 数据资料[15]

表1给出的数据资料中，等间隔(对非等间隔本文模型依然适用)的实际观测次数共12 次，在12个周期的累积沉降数据序列中取1～9次的沉降S-时间t数据估算模型的参数β0，β1，…，βn；取10～12次的沉降S-时间t数据来检验模型预测值的准确性。作出1～9次的S-1-t-1的散点图，如图1所示。

图1 S-1-t-1关系图

图1表明S-1与t-1为非线性关系，可用以t-1为自变量的多项式逼近S-1，经线性化后用条件分位数估算模型参数。经分析比较选用4次幂多项式为拟合预测模型，即

(7)

从而

(8)

3.2 模型参数估计

利用Matlab2014a软件编写分位数回归法程序并结合表1中1～9次的沉降S-时间t数据来估算模型参数β0,β1,…,β4。这里选用5个不同分位点τ=0.1,0.3,0.5.0.7,0.9估计模型系数。由于数据量较少，计算时选择单纯性算法。通过计算，得到的估计结果见表2。

表2 不同分位点下模型系数的估计值

表3 不同分位点下模型的拟合优度值

表3中数据表明5个模型的拟合优度都比较高，说明回归的效果是显著的，可以用所建模型对后续沉降进行预测分析。τ=0.7时回归方程的拟合效果图如图2所示。

图2表明τ=0.7对应的回归方程拟合效果很好，其他分位点对应的回归方程拟合图略去。

3.3 预测分析

根据表2中的模型参数及式(8)得到τ=0.3,0.5,0.7时预测模型如下：

图2 分位点为0.7的回归方程拟合效果图

1)τ=0.3，

2)τ=0.5，

3)τ=0.7，

利用τ=0.1,0.3,0.5,0.7,0.9的模型对表1中序号10～12的测试数据进行预测分析，结果见表4。采用最小二乘回归法估算出的模型系数为(-0.034 612，22.788 91，-2 585.586，125 419.8，-203 562 7)，对测试数据的预测值及误差见表4第3列。文献[15]的预测结果见表4最后一列。

表4 不同分位点对应的路基沉降量预测值 mm

从表4可以看出，基于分位数幂多项式模型对软基高速公路沉降量的预测精度高于基于最小二乘参数估计的幂多项式预测模型(误差绝对值之和的平均值为1.543 2)，也高于文献[15]多变量灰色预测模型MGM(1,3)(误差绝对值之和的平均值为1.046 7)，尤其以0.7分位数幂多项式模型的预测精度最高(误差绝对值之和的平均值为0.366 3)。因此，选取0.7分位数回归的幂多项式模型作为最终的预测模型。

文献[15]还提供了另外两个观测点上的12个数据，采用本文建模方法均取得理想效果，综合分析表明，将分位数回归用于路基沉降量预测分析完全可行，能够满足工程需要。

4 结束语

1)最小二乘估计只有在模型的随机误差项服从正态独立同分布时才能得出参数的无偏差估计，但在实际问题中这些条件往往难以满足，因而使参数估计值偏离理想值，导致模型精度下降。分位数回归估计拓展了最小二乘估计方法，按不同分位点可得多组估计量，从而得到多个回归方程，使得在进行沉降量预测时对预测模型有更多选择。由于分位数回归时对模型的随机误差项不做任何假设，同时具有很强的数据适应能力，对少量样本也能取得理想效果。

2)幂多项式模型结构简单，对数据质量要求不高，具有很好的数据逼近和拟合能力，且容易线性化，非常适合用分位数回归估算其参数。另外，利用Eviews软件和MATLAB软件可方便地完成幂多项式模型的建立和最终模型的选取。工程实例表明，基于分位数回归的幂多项式模型预测精度优于基于最小二乘估计的幂多项式模型，也优于多变量灰色时间序列模型MGM(1，3)的预测结果，为路基沉降数据分析研究提供一种新思路、新方法。

3)不同的分位点(可分为低分位和高分位)代表不同的路基沉降发展水平，按施工期和工后期的不同状态选择不同分位数下的预测模型，会更符合实际，效果会更佳，对此需要进一步研究。另外，幂多项式建模的通用性有待论证。

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[责任编辑：李铭娜]

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(本刊编辑部)

Application of power polynomial based on Quantile Regression to data analysis

WANG Jiangrong1，YUAN Weihong2，ZHAO Rui1，REN Taiming1

(1. Dept. of Information Processing and Control Engineering,Lanzhou Petrochemical College of Vocational Technology, Lanzhou 730060, China;2.Department of Civil Engineering, Lanzhou Petrochemical College of Vocational Technology, Lanzhou 730060, China)

According to the nonlinear relationship between subgrade settlement and observation time, the accuracy of the traditional least squares parameter estimation is not high, so a power polynomial subgrade settlement prediction model with strong approximation ability is established, of which the model coefficients are estimated by quantile regression. Engineering example shows that the prediction based on the quantile regression estimates of power polynomial model has high accuracy, which is better than the least squares estimation of power polynomial prediction model and multi variable grey forecast model. This model can provide a new method for settlement prediction.

highway; subgrade settlement; power polynomial function; quantile regression; prediction of settlement

引用著录：王江荣,袁维红,赵睿，等.基于分位数回归的幂多项式在数据分析中的应用[J].测绘工程，2017，26(4)：43-46，52.

10.19349/j.cnki.issn1006-7949.2017.04.008

2016-01-22

兰州市科学技术局计划项目(兰财建发[2015]85号)；兰州石化职业技术学院科技资助项目(院发〔2015〕69号)

王江荣(1966-)，男，教授,硕士.

TV196;U416

A

1006-7949(2017)04-0043-04