一种月球飞船动力下降预测制导方法的研究*

薛志飞 韩艳铧

南京航空航天大学航天学院，南京 210016

月球探测与开发离不开月球软着陆技术。软着陆有2种方式[1-2]：1)直接着陆；2)从圆形的环月停泊轨道变轨，进入霍曼椭圆轨道，然后在其近月点开始连续制动减速(称为动力下降)，最终软着陆于月面。第2种方式可供着陆准备的时间长，且着陆区域选择性大，成为目前各国普遍采用的方式。在该方式中，动力下降段的制导控制最为关键，衡量其性能优劣的标准是燃耗、在线计算量、鲁棒性等[3]。目前动力下降段制导技术的主流方式有2种：标称轨迹制导法和显式制导法[1]。

标称轨迹制导法的思路是离线设计一条落月标称轨迹，然后在线跟踪该轨迹。标称轨迹通常针对某性能指标(如燃耗、航程等)经过优化计算得到[4-8]，然后对标称轨迹进行跟踪控制[9]。文献[4-5]均采用伪谱法计算最优轨迹。其中文献[4]采用从可行解到最优解的串行优化策略求解，有利于快速收敛到最优解，文献[5]则通过遗传算法对伪谱法的优化结果进行验证，确保其全局最优性。文献[6]根据庞特里亚金极小值原理推导了最优推力开关方程，证明了推力奇异区间不存在，然后针对优化模型中的复杂非线性约束，通过凸变换，转化为凸优化问题，借助于内点法得到全局最优解。文献[7]利用混合法思想和人工免疫算法研究了月球软着陆轨迹优化问题。混合法结合了基于庞特里亚金极值原理的间接法和非线性规划等直接法的优点，而人工免疫算法提高了全局寻优的可靠性和收敛速度。文献[9]以极大值原理得出的最优轨迹为基础，给出了一种基于模糊神经网络的最优非线性闭环控制律，来跟踪最优标称轨迹。

标称轨迹制导法的缺点是： 1)标称轨迹的规划(特别是优化)需要消耗较大的计算资源； 2)飞船下降段的初始条件偏差、或下降过程受到的内外干扰，均可导致较大的落月偏差。

显式制导法由于引入实时状态反馈，故有较强的鲁棒性。文献[2]为动力下降的3个阶段(即制动段、接近段和最终下降段)分别设计了解析形式的制导律，但由于制导律的简化计算给最终着陆段的轨迹带来较大偏差。文献[10]在制动和接近段采用多项式制导，根据实时位置、速度修正控制量。文献[11]提出了一种基于改进的ZEM/ZEV算法和模型预测静态规划(MPSP)的多约束燃料次优制导方法，用于月球精确软着陆，其重定向能力强，但在线计算量太大。文献[12]针对最终下降段，设计了一种嵌套饱和函数形式的制导律和姿态控制律，并利用级联系统稳定性证明了着陆器最终能以合适的速度和竖直姿态落月。

本文提出一种月球飞船动力下降段预测制导方法，充分利用月球无大气层的特点，利用开普勒轨道力学，得到解析形式的轨迹和落点预测解，无需事先离线做大规模优化计算，且在线计算量比基于数值预测的制导方法小得多，同时其鲁棒性又明显强于标称轨迹(含最优轨迹)制导法，更适宜工程应用。

1 动力学建模

上面所提的第2种软着陆方式如图1所示。飞船在环月停泊轨道上进行观察，初步选定着陆点，从而确定在停泊轨道的哪个位置施加脉冲变轨，进入霍曼转移轨道，再在其近月点施加连续推力进行制动下降，最终软着陆月面。如果选定的着陆点与环月停泊轨道不共面，可以在停泊阶段改变轨道平面，使落月点与环月停泊轨道共面，则之后的霍曼转移轨道和动力下降段都与落月点共面，故本文研究的下降段只需要考虑纵向平面。

图1 动力下降示意图

飞船相对于月心的位置用极坐标(r,α)表示，其中，极径r表示飞船到月心的距离，极角α如此定义：飞船动力下降的始点定义为极角零点，并且以逆时针旋转为正。设飞船飞行速度为v，航迹倾角为γ。发动机推力沿速度矢量的切向和法向的加速度分别为at和an，燃料的质量比冲为Is。月球引力常数为μ=GMm，其中，G是万有引力恒量，Mm是月球质量，则动力下降段飞船质心运动方程如下:

(1)

质量动态如下:

(2)

自由飞行即不计发动机推力时，可以证明[13]，飞船的轨迹是以月心为焦点的椭圆，方程如下:

(3)

其中,

f=α-ω

(4)

是飞船在椭圆轨道上的真近点角。ω是近月点角距。h是飞船质量归一化的动量矩(下文简称动量矩)，即

h=rvcosγ

(5)

飞船的质量归一化机械能(下文简称机械能)为

(6)

根据开普勒轨道力学，自由飞行时，飞船的动量矩h和机械能ε均守恒。另外，可以根据飞船的动量矩和机械能计算其轨道半长轴a和偏心率e，

(7)

(8)

飞船轨道运动的平均角速度为

(9)

飞船的即时月心距r、飞行速度v和航迹倾角γ可由导航设备实时测定，然后根据式(5)和(6)分别确定飞船动量矩h和机械能ε，再根据式(8)确定其瞬时密切椭圆轨道的偏心率e，最后由方程(3)反解出其在瞬时轨道上的真近点角f如下

(10)

相应的偏近点角E和平近点角M的计算式如下

(11)

M=E-esinE

(12)

当飞船降落到距月表很近，飞行速度也较小，航迹倾角较大，从而纵程较小时，可视月表为平面，重力场近似为匀强场，此时飞船自由飞行的质心运动方程近似为

(13)

式中，g是月表重力加速度常数，Rm是月球半径。飞船质量动态方程仍如式(2)。

2 预测制导

2.1 基本原理

预测制导的基本原理如图2所示。

图2 预测制导原理

预测制导思路如下： 1)导航系统实时测定飞船飞行状态量(r,α,v,γ)，从而算得其动量矩和机械能；然后按照自由飞行的开普勒轨道力学，确定瞬时密切椭圆轨道，并依据此瞬时轨道预测其落点位置(用落点极角表示)和速度，以及剩余飞行时间；根据预测的落点位置和速度，与期望的落点位置和速度比较，得到偏差量；2)控制算法根据预测的落点速度偏差和剩余飞行时间形成切向控制量，改变飞船速度，消除落点速度偏差；同时，根据预测的落点位置偏差形成法向控制量，改变飞船速度方向，消除落点位置偏差。

2.2 制导算法

如前所述，飞船从霍曼轨道的近月点开始连续制动下降。霍曼轨道本身与月表无交会点。在减速过程中，飞船处于一系列连续变化的瞬时密切椭圆轨道上，当某条瞬时轨道的近月点到月心的距离小于等于月球半径Rm，表示该轨道与月表有交会点(下文统称落月条件)，飞船沿该轨道自由飞行必能落月。但是落月点位置和速度未必满足期望值，所以还需继续施加切向和法向控制，不断调整飞行状态，使预测的落点状态值趋近期望值。

据此将制导过程分为3个阶段： 1)全力制动阶段；2)基于椭圆轨道的预测制导阶段；3)基于近月面抛物线轨迹的预测制导阶段。下面详细阐述。

2.2.1 全力制动阶段

此段从霍曼轨道近月点开始，切向控制量取负的峰值，法向控制量取0，即

(14)

直至满足落月条件。由于瞬时椭圆轨道近月点的真近点角f一定为0，且预测落点是基于飞船自由飞行时的开普勒轨道进行的，动量矩h守恒，偏心率e是常数，将式(5)，(6)和(8)，及f=0代入式(3)，得到近月点的月心距为

(15)

落月条件是rp≤Rm。

2.2.2 基于椭圆轨道的预测制导阶段

此阶段的预测制导如图3。

图3 基于椭圆轨道的预测制导示意图

飞船当前时刻在瞬时轨道上的真近点角可将式(5)，(6)和(8)代入式(10)计算得

(16)

近月点角距根据式(4)得

ω=α-f

(17)

其中，极角α由导航系统实时测定。

下面根据自由飞行预测落点真近点角f*。

(18)

相应的落点极角预测值为

α*=f*+ω

(19)

设落点极角期望值为αc，则预测落点位置偏差(用极角表示，下文类同)为

Δα=α*-αc

(20)

落点速度可根据机械能守恒来预测。设落点速度的预测值为v*，则根据当前状态(r,v)计算的机械能与根据落点状态(Rm,v*)计算的机械能应相等，可解得

(21)

设落点速度的期望值为vc，则预测落点速度偏差为

Δv=v*-vc

(22)

下面预测剩余飞行时间tgo。

将当前真近点角f代入式(11)和(12)，计算出相应的偏近点角E和平近点角M。将预测的落点真近点角f*代入式(11)和(12)，计算出相应的偏近点角E*和平近点角M*如下

(23)

式中，偏心率e根据当前飞行状态(r,v,γ)由式(5)，(6)和(8)联立计算。

首先使用水利普查基层登记台账管理系统菜单中的“对象清查清查浏览”功能，点击业务分类的每一项，通过“导出EXCEL”功能，分别形成与Q201～Q803内容对应的24张浏览表，如表Q201（水库工程）导出名为“VIEW_Q201_0.XLS”。为了避免数据的无序性和方便后面的操作，应在软件中先按水利普查自动生成的编码排序后再导出数据。

飞船在当前轨道上的平近点角和预测落点的平近点角差为

ΔM=M-M*

(24)

则预测的剩余飞行时间

(25)

式中，n是平均轨道角速度。将式(6)，(7)和(9)代入式(25)得

(26)

切向控制at用来减小飞船速度，消除落点速度偏差，故为

(27)

法向控制an用来改变飞船速度方向，即航迹倾角，消除落点位置偏差，故设计为

an=knΔα

(28)

式中，kn是负的常数，其物理意义是：如果预测落点超前期望落点，则通过法向推力“压低”轨道，缩短射程；否则，通过法向推力“抬高”轨道，增加射程。

此阶段结束的标志为：|f-f*|≤σ，其中，σ>0为预设的门限值。

2.3 基于近月面抛物线轨迹的制导阶段

根据式(13)按照近月面抛物线轨迹飞行力学，得到剩余飞行时间

(29)

由此可预测落点位置

(30)

落点速度的预测仍可基于机械能守恒，易算出：

(31)

根据以上对三阶段制导原理的描述，可将其综合概括为图4。

图4 分段预测制导原理

3 仿真结果与分析

为了验证所提出的预测制导律，对飞船软着陆动力下降段进行仿真。

表1 仿真入口参数

表1中，h0,r0,α0,v0,γ0,m0是飞船在霍曼轨道近月点即动力下降初始点的状态；xc是相应于αc的月表纵程，即落点纵程的期望值。

为了验证本文预测制导的鲁棒性，仿真中考虑了霍曼轨道近月点处飞船的速度偏差，即飞船在此点的实际速度相对于标称值v0的偏差，用Δv0表示，其数值见表1，并且与基于燃耗最省的标称轨迹制导仿真结果进行对比，仿真结果如图5～10。

图5 标称初始条件下飞船下降轨迹

图6 标称初始条件下飞船质量变化曲线

图7 初始速度偏差时飞船下降轨迹

图8 初始速度偏差时飞船速度曲线

图9 初始速度偏差时飞船航迹倾角曲线

图10 初始速度偏差时飞船推力曲线

图中,横坐标x表示飞船在月表的飞行纵程。图5～6为在标称初始条件即在霍曼轨道近月点月表距15km、速度v0=1.69×103(m/s)下，基于标称最优轨迹制导和本文预测制导的仿真结果对比，可见前者落月位置误差达351m(将优化好的控制量时间序列代入飞行器动力学方程用龙格库塔递推得到)，而本文预测制导律仅为3.6m，但是前者燃耗仅为616kg，而本文预测制导燃耗为1080kg。图7为存在初始速度偏差Δv0的情况下，基于标称最优轨迹制导和本文预测制导的下降轨迹，可见前者落月位置误差达3.57km，而本文预测制导律落月位置误差仅为5.8m。

图8～9为存在初始速度偏差的情况下，基于本文预测制导的飞船速度、航迹倾角、发动机推力曲线，可以看出飞船在满足推力限幅条件下以0.3m/s垂直落月，实现了软着陆。

以上仿真结果表明，虽然基于燃耗最省的最优标称轨迹制导能节省动力下降段燃耗，但是其落月精度不如预测制导。特别是其对初始状态摄动很敏感，较小的初始速度偏差即可导致较大的落月位置误差。而本文预测制导有较强鲁棒性，其落月位置仍然保持了很高的精度。本文基于解析预测的制导律相较于最优标称轨迹制导律，在计算资源消耗方面的优势就更明显了。

4 结论

对月球软着陆动力下降段制导控制方法进行了研究。首先对软着陆过程进行了分析，简化了下降段动力学模型，然后针对二维平面模型设计了预测制导算法，提出了基于落点位置偏差和速度偏差的闭环制导律。该方法所涉及的变量都能根据解析表达式计算，形式简单，便于工程上快速在线实现。

数值仿真部分，在月球飞船动力下降有初始偏差的条件下，对本文所提预测制导方法和基于最优标称轨迹的制导方法进行了对比，结果证明了本文方法的优势。

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