把握问题实质，强化思维训练——由一道“二次函数”中考题想开去

☉江苏张家港市暨阳湖实验学校 钱飞

把握问题实质，强化思维训练
——由一道“二次函数”中考题想开去

☉江苏张家港市暨阳湖实验学校 钱飞

一、原题呈现

（江苏省2015年中考题）如图1，已知一条直线过点（0，4），且与抛物线交于A、B两点，其中点A的横坐标是-2.

图1

（1）求这条直线的函数关系式及点B的坐标.

（2）在x轴上是否存在点C，使得△ABC是直角三角形？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由.

（3）过线段AB上一点P，作PM∥x轴，交抛物线于点M，点M在第一象限，点N（0，1），当点M的横坐标为何值时，MN+3MP的长度最大？最大值是多少？

二、思路剖析

这一题看似比较麻烦，但从解决问题的途径来看，还是呈现出一定的方法的.第（1）问比较容易，下面直接从第（2）问入手.就第（2）问而言，求C点坐标的过程中隐含着高中阶段的“两条直线垂直，斜率的乘积为-1”这个知识内容.不得不承认，如果直接利用这一知识点来解题，解题过程会简单很多.但是，对于初中学段的学生来说，如果此前没有对这一知识作“补充学习”的话，这种方法的运用显然也就谈不上“自然”了.过往的教学实践使笔者认识到，在缺乏前期“预见性学习”的情况下，初中学生应对第（2）问的自然方法，应当是在分类的基础上通过构造相似三角形获得线段之间的比例关系，根据比例关系求得线段长度，然后转化为对应的点坐标.具体的，以A、B、C为顶点的直角三角形，需要分三种情形：以B为直角顶点、以A为直角顶点、以C为直角顶点.对于以B为直角顶点的情形，可以过B点作BC⊥AB，交x轴于C点.要求C点的坐标，需求OC的长.作BH⊥OC，重足为H.设直线AB与x轴交于D点.易知△BDH∽△CBH.由B点的坐标（8，16），可得BH＝16.由直线AB的函数表达式y=可求得D点的坐标为于是DH＝8-.这样，就可以通过，得到HC=24，进而得到OC＝32，即C点的坐标为（32，0）.对于以A为直角顶点的情形，首先想到的还是这种相似变换的方法.虽然这种方法相对于“斜率法”，显得复杂了点，但是这种方法才是建立在初中学段知识基础上的方法.

对于第（3）问，从高中角度体现在“两点之间的距离公式”的直接运用和对抛物线“焦点”的认识.其实，按这样的“高中阶段”思路，作为教师，我们不仅容易认识到N点是抛物线的焦点，还应当认识到抛物线的准线是y＝-1.于是，MN的长度其实就是M点到直线y＝-1的距离.设 M点的横坐标为a，那么线段；将M点的纵坐标代入直线解析式可以求得P点横坐标所以MN+.这样的方法，利用了“准线”的性质.但是，对于初中学生来说，这样的方法就像“从帽子里跑出一只兔子”一样，让人惊讶！对于MN，能够想到的是利用坐标关系构造直角三角形，利用勾股定理表示出它的长度.至于“焦点”与“准线”之类的“高观点”，显然涉及抛物线的重新定义（平面内到定点与定直线距离相等的点的轨迹）.如果试图让学生理解它们，需要一个“系统工程”，耗时耗力不说，效果往往适得其反.因为抛物线的上述定义只有放在“圆锥曲线”的整体内才更好理解.

从以上分析过程可以看出，把高中阶段的问题放到初中笔者认为并不可取.如果在中考中出现了类似的问题，我们可以通过一些方式、方法进行补救.那么，这样的问题有没有延续性呢？让我们再来看一道中考问题，从中可以看出一些端倪.

三、拓展延伸

延伸问题：如图2，已知平行四边形ABCD的顶点A的坐标为（2，6），点B在y轴上，且AD∥BC∥x轴，过B、C、D三点的抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为（2，2），点F（m，6）是线段AD上一动点，直线OF交BC于点E.

图1

图2

（1）求抛物线的表达式；

（2）设四边形ABEF的面积为S，请求出S与m的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；

（3）如图3，过点F作FM⊥x轴，垂足为M，交直线AC于P，过点P作PN⊥y轴，垂足为N，连接MN，直线AC分别交x轴、y轴于点H、G，试求线段MN的最小值，并直接写出此时m的值.

分析：（1）根据平行四边形的性质和抛物线的特点确定点D，然而用待定系数法确定抛物线的解析式.（2）根据AD∥BC∥x轴，且AD、BC间的距离为3，BC、x轴的距离也为3，F（m，6），确定出，从而求出梯形的面积.（3）先求出直线AC的解析式，然后根据FM⊥x轴，表示出点P（m，-m+9），最后根据勾股定理求出MN=从而确定出MN的最大值和m的值.

解：（1）由过B、C、D三点的抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为（2，2），得点C的横坐标为4，BC=4.由四边形ABCD为平行四边形，得AD=BC=4.又A（2，6），则D（6，6）.

设抛物线的解析式为y=a（x-2）2+2.由点D在此抛物线上，得6=a（6-2）2+2，则a

（2）AD、BC间的距离为3，BC、x轴的距离也为3.由F（m，6），得（AF+BE）×3=

四、反思归纳

以上解题过程给我们诸多启发.我们发现，解决二次函数问题需要从问题的实质出发，问题的解决方法是第一位的，其次才是通过何种手段去解决它.

1.全员参与，智慧碰撞.

有效的解题思路训练，应当努力促成思想方法的交流，让每一个学生有机会表达自己的认识与看法，让解题的方法尽情流淌.如果一个班级的学生人数不多的话，可以使得每一位学生都有尽抒己见的机会（.事实上，即使班级人数较多，教师也可以有效进行小组化活动，比如，按任教班级规模分为若干个活动组）笔者认为这一点非常重要，因为只有让每个人都无保留地“端出”自己的观点，才能促进其积极思考，进而让最终汇集在一起的观点是典型的、有研讨必要的，个人观点与经验经过集体智慧的筛选之后，会自然而然地建构到个人经验系统中去，以集体智慧对个人观点与经验进行筛选，体现的就是解题活动的与众不同的特征；集体智慧内化并优化个人经验系统的过程，体现的是讨论活动的“转益多师”特征.显然，这种“转益多师”不只是发生于活动中某一个既定角色.

2.科学命题，以旧带新.

笔者认为，对命题者也有必要提一些有益的建议，即当学生具备了思维能力时，根本不愁新知识的学习.比如，当学生具备了图形变换思想，能够自觉运用相似变换来解决问题的时候，我们也就不愁学生在未来的解析几何学习中理解并掌握“两直线垂直，斜率乘积为-1”这个知识点了.同样，如果学生能够在全新的情境中想到构造直角三角形并运用勾股定理来表征线段长度，何必去提“两点之间的距离公式”这样的高中阶段的知识呢？毕竟现有的方法才是最重要的.数学习题最重要的价值在于磨砺学生的数学思维，尤其是激活学生创新性的数学思维，这是一种高阶的数学思维.学生运用已有的数学知识和数学问题解决的经验、方法，独辟蹊径，形成内在于自我数学观念的独特的数学解题思路，彰显的是学生的数学智慧.唯有每一位学生的思维状态都能暴露于同一个思维空间，都能敞亮于同一个思维空间，数学问题的解决过程才能形成“百花齐放百家争鸣”的良好局面，数学解题的场域才能充满着生命的活力与气息，数学这门课程才能从“作为事实的课程”走向“作为实践的课程”，进而迈向“作为解放的课程”！

1.王宇峰.找回“自然解法”的本原意义［J］.中学数学教学参考（中），2015（10）.

2.胡典顺.从“作为事实的课程”到“作为实践的课程”［J］.数学教育学报，2014（5）.