改进的非等间距灰色模型在大坝位移预测中的应用

俞艳玲，郑东健，俞 扬，居艳阳，方 正

(河海大学a. 水利水电学院；b.水文水资源与水利工程科学国家重点实验室；c.水资源高效利用与工程安全国家工程研究中心，南京 210098)

改进的非等间距灰色模型在大坝位移预测中的应用

俞艳玲a,b,c，郑东健a,b,c，俞 扬a,b,c，居艳阳a,b,c，方 正a,b,c

(河海大学a. 水利水电学院；b.水文水资源与水利工程科学国家重点实验室；c.水资源高效利用与工程安全国家工程研究中心，南京 210098)

传统GM(1,1)预测模型在大坝位移拟合及预测中存在优化方式单一、适应性不佳等不足，一定程度上影响模型的预测效果。基于蛙跳算法，通过优化背景值和平滑系数、寻找最优定解条件以及残差优化等方法，提出了改进的非等间距GM(1,1)大坝位移预测模型。结合相关工程实例，对比分析了2种模型的拟合效果和预测精度，说明了相对于传统GM(1,1)大坝位移预测模型，改进的GM(1,1)大坝位移预测模型能有效提高位移预测精度，可以应用于实际大坝结构中的位移监控及预测。

大坝位移；预测模型；改进GM(1,1)模型；混合蛙跳算法；残差优化

1 研究背景

通过对大坝及坝基原始监测资料的分析，结合数学、力学、信息科学等方法，建立监测效应量模型，用于分析和评价大坝的工作状态，可实现大坝的安全监控[1]。在众多效应量中，大坝位移量对于反应大坝运行情况具有重要作用。作为重要的大坝安全监测项目之一，位移量观测值不仅直观可靠，同时易于测量，故常根据大坝位移实测数据建立位移监控模型。鉴于大坝的工作环境复杂，影响大坝位移量的因素众多，且包含不少未知信息，故可将大坝的位移监测量视为一定范围内变化的灰色量，建立灰色监控模型[2]。很多学者致力于提高该模型的精度，针对优化方式等提出了改进方法[3-4]。但仍存在优化方式单一、模型适应性不佳等问题。

在已有的研究成果基础上，本文利用混合蛙跳算法优化背景值参数、平滑系数，选择最优定解条件及残差优化等方式，提出了改进的非等间距灰色位移预测模型，通过实例验证对比说明了改进的灰色预测模型相对传统灰色预测模型的优越性。

2 传统GM(1,1)大坝位移预测模型建模原理

灰色预测模型GM(1,1)的建模原理就是将无或弱规律变化的原始数据经过一次累加，得到具有较强规律的数据[1]，并以此建立灰色模型作一次累减还原得到原始数据的预测值，然后进行预测。

设大坝某监测点各期位移数据为

(1)

若时间间距Δti=ti-ti-1,(i=1,2,…,n)不是等间隔的，称X(0)(tk)为非等间距序列，并令Δt1=1。

对X(0)(ti)一阶累加生成，累加序列为

(2)

建立白化形式的GM(1,1)微分方程，即

(3)

式中：a为发展系数，反映X(1)(ti)和原始序列X(0)(ti)的发展趋势；b为内生控制灰数，反映数据间的变化关系[5]。

离散上式得差分方程，即

(4)

式中z(1)(ti)为x(0)(ti)在区间(ti-1,ti)上的背景值。传统GM(1,1)中利用梯形近似背景值，即z(1)(ti+1)=θx(1)(ti)+(1-θ)x(1)(ti+1)，i=1,2,…,n-1,θ=0.5。

利用最小二乘法计算出a和b，继续求解微分方程，得到

(5)

(6)

(7)

联立式(6)、式(7)可得

(8)

进一步还原可以得到原始数据

(9)

3 基于混合蛙跳的改进GM(1,1)大坝位移预测模型

3.1 蛙跳算法的原理

蛙跳算法是一种群智能算法的分布式算法[6]，基本思想是，一群青蛙生活在一片湿地中，它们被分成不同的子群体，青蛙为接近食物而在子群体内不断交流信息，实现有序地位置变换。当子群体的位置改善到一定阶段，各子群之间再进行全局信息交换，实现子群体间的混合运算，直到满足设定条件。

3.2 混合蛙跳算法的优化目标

背景值是影响灰色模型预测精度的关键因素。传统GM(1,1)算法中取θ=0.5是基于平均的考虑，樊新海等[7]学者认为从理论上尚无法说明θ=0.5时，模型精度最高。因此，本文采用混合蛙跳算法对Q值寻优，取值范围为0<θ<1。

传统GM(1,1)对于严格呈指数增长的数据有较高的预测精度，而大坝位移数据的变化还具有波动性，因此本文对原始位移数据运用指数平滑法进行预处理，强化原始序列的大致趋势。生成新的序列为S(0)(tk)={s(0)(ti)},i=1,2,…,n，其中：

(10)

(11)

式中α为平滑系数，可通过混合蛙跳算法确定，取值范围为0<α<1。

综合以上3方面的要求，混合蛙跳算法中每只青蛙的位置相当于一个包含3个元素的数组P=(α,β,θ)，其中，0<α<1,0<θ<1,β为1到n之间的整数，预测值与监测值的残差平方和视为青蛙适应值，适应值越小，表示参数改进的GM(1,1)模型误差越小[10]。

3.3 蛙跳算法实现流程

随机生成S只3维青蛙群体，第i只青蛙代表问题的一个解Pi=(αi,βi,θi)。在全局搜索阶段，将所有青蛙按照适应度大小从优到劣排序，根据适应度将整个蛙群分成m个子群，在每个子群中进行局部搜索并迭代计算，每一次计算都可以优化子群中位置最差的青蛙。步长更新公式为：

(12)

(13)

如果这次更新没有使该子群中适应度最大的青蛙Pa得到优化(即适应度降低)，就用整个群体中适应度最小的青蛙Po取代Pb重新计算式(12)；若仍无改进，则随机初始化新解，直接取代Di继续计算。局部搜索迭代达到规定次数后再次进入全局搜索阶段，将S只青蛙重新排序分组，进行局部搜索并迭代计算，如此反复直到全局进化代数完毕或者达到算法终止条件。

3.4 残差优化

3.5 改进的GM(1,1)大坝位移预测模型建模过程

基于以上改进方法，建立大坝位移预测模型，过程如下：

(1) 对原始数据进行级别检验，并在必要时对其进行预处理。

(2) 使用混合蛙跳算法计算平滑系数、定解条件及背景值参数的最优解。

(3) 最小二乘法估计待辨识量。

(4) 得到时间响应函数，进一步还原得到原始预测序列。

(5) 计算模型残差序列，利用本文提出改进灰色模型进一步优化得到残差预测序列。

(6) 叠加原始预测序列与残差预测序列，得到最终预测序列。

(7) 对模型进行检验，若不满足精度要求，回到(6)步，再次进行残差灰色预测优化，直到满足精度要求。

4 实例分析

某坝是雅砻江干流梯级滚动开发的关键工程，以发电为主，兼有分担长江中下游地区防洪等，水库具有年调节能力，对下游梯级补偿调节效益显著。工程永久性主要水工建筑物为1级建筑物。该坝9#坝段IP-9-1测点(高程1 601.25 m)水平径向位移采用倒垂线进行监测。本文根据该测点在2015年3月29日至9月8日的监测数据分别建立传统GM(1,1)和改进的GM(1,1)，并用所建模型预测2015年9月9日至9月28日的水平位移数据。

使用MATLAB实现混合蛙跳算法对参数的优化，优化结果为：α=0.052,β=18,θ=0.006。模型预测结果见表1，为直观分析，将传统GM(1,1)和改进的GM(1,1)的拟合值及预测值进行比较见图1。

表1 2种预测模型的结果Table 1 Results of two prediction models

图1 模型预测过程线Fig.1 Time-history curves of subsidence by different prediction models

由表1可知，传统GM(1,1)预测模型平均相对误差为1.35%，本文提出的改进GM(1,1)预测模型平均相对误差为0.82%;由图1可直观看出，改进的GM(1,1)模型拟合及预测效果明显高于传统GM(1,1)模型。表明本文提出的改进模型相比传统灰色模型更适用于大坝位移预测。

5 结 论

通过对传统GM(1,1)建模原理的分析，本文提出了几点改进。由计算实例可以看出，优化后的模型不仅使预测精度得到了有效的提高，还继承了传统灰色模型建模灵活等优点，同时非等间距GM(1,1)在部分数据缺失的情况下，也可以很好地发挥预测效果。故本文提出的改进的非等间距GM(1,1)模型在短期大坝位移预测中有较好的适用性。

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(编辑：王 慰)

Application of Improved Non-equidistance Grey Model toForecasting Dam Displacement

YU Yan-ling1,2,3, ZHENG Dong-jian1,2,3, YU Yang1,2,3, JU Yan-yang1,2,3,FANG Zheng1,2,3

(1.College of Water Conservancy and Hydropower Engineering, Hohai University, Nanjing 210098, China;2.State Key Laboratory of Hydrology-Water Resources and Hydraulic Engineering, Hohai University,Nanjing 210098, China; 3.National Engineering Research Center of Water Resources Efficient Utilization and Engineering Safety, Hohai University, Nanjing 210098, China)

Traditional GM(1,1) forecasting model has such deficiencies as single optimization method and poor adaptability in fitting and estimating dam displacement, which affect the estimation result. In this paper, an improved non-equidistance GM(1,1) forecasting model is proposed by using Suffled Frog Leaping Algorithm to optimize background value and smoothing coefficient, to search for optimal definite condition and correct residual error. The fitting results and prediction accuracy of traditional model and the proposed model are compared through an engineering example application. Results suggest that the improved GM(1,1) model could enhance the prediction accuracy effectively, hence can be used in the monitoring and prediction of dam displacement.

dam displacement; forecasting model; improved GM(1,1); shuffled frog leaping algorithm(SFLA); optimization of residual error

2015-11-27；

2015-12-25

国家自然科学基金重点项目(41323001，51139001)；国家自然科学基金面上项目(51379068,51179066)；国家自然科学基金项目(51279052,51579085)；水利部公益性行业科研专项经费项目(201201038，201301061)；江苏省杰出青年基金项目(BK2012036)；江苏高校优势学科建设工程资助项目(水利工程)(YS11001)；江苏省“六大人才高峰”项目(JY008)

俞艳玲 (1991-)，女，安徽合肥人，硕士研究生，研究方向为水工结构工程安全监测，(电话)18205151941(电子信箱)594395928@qq.com。

10.11988/ckyyb.20151012

2017,34(3):50-52，57

TV698.1

A

1001-5485(2017)03-0050-03