读懂学生的思维减少盲目的唯一

王道健

2014年10月，郑毓信教授在《数学教学中的“找规律”风应当降温》一文指出，规律最重要的两个特征是“客观性”和“普遍性”，这类活动的根本意义在于借助所发现的“规律”，更有效地去从事实践活动。张奠宙教授也认为，“找规律是一个开放的问题。任何一个有限序列，都可以生成无限多种规律，认为只有一个规律，推断出‘必须是什么和‘应该是什么，把开放题封闭成只有唯一答案的题目，在数学上是不對的”。

笔者正好要教学这部分内容，于是，带着对一年级“找规律”教学的思考，我在毫无告知的情况下让学生完成了这样的找规律填数：

70，（ ），60，55，（ ），（ ）

结果学生上交的答案各不相同，那么他们到底是怎么想的呢？于是，我就进行了如下的追问：

生1：70，（65），60，55，（50），（45）

师：有什么规律？你怎么发现这种规律的？

生1：我看到题目中60和55相差5，也就是相邻的两个数相差5。

生2：70，（55），60，55，（50），（55）

师：你写的规律好像和其他小朋友不一样，有什么规律？

生：我写的是把70、60、（ ）看成一组，发现70和60相差10；（ ）、55、（ ）看成另一组来发现规律。

师：你两个两个间隔看发现了规律，那你运用这种规律还能写出来吗？

生：①70，（54），60，55，（50），（56）；②70，（56），60，55，（50），（54）；③70，（53），60，55，（50），（57）……

师：间隔的规律照这样写下去能写完吗？

生：写不完。

师：还有其他发现吗？

生：70，（64），60，55，（50），（46）

师：你写的这个好像没有规律啊？

生：老师，我是这样想的，把这6个数分成3组：70、（ ）；60，55；（ ），（ ）。先看每组的第一个数是70、60来确定第3组的第一个数是50；再根据第2组的60、55发现相邻两个数相差5，我设计了第1组相邻两个数相差6，第3组相邻两个数相差4。

师：哦，原来你是两个两个相邻看发现了数的规律，用这种规律还能写出来吗？

生1：太多了，写不完。

生2：70，（65），60，55，（49），（43）

师：你的有什么规律？

生：我先看前面3个数：70，（ ），60，设计了相邻两个数相差5的规律：后面3个数：55，（ ），（ ），设计了相邻两个数相差6的规律。

师：你三个三个地看发现了规律，还能用这个规律写出其他规律吗？

生1：①70，（65），60，55，（44），（33）；②70，（65），60，55，（40），（25）；③70，（65），60，55，（45），（35）……

生2：能写很多，前面3个数、后面3个数的相邻两个数都相差5时，就变成了70，（65），60，55，（50），（45）。

生3：70，（65），60，55，（54），（53）

师：你的前四个数有规律，后面两个数为什么这样填？

生：我把前面4个数看成一组，相邻两个数相差5：后面的数我设计的规律是相邻两个数相差1。

师：哦，你在四个四个地看发现规律，照这样的规律也能写出很多。

生：70，（65），60，55，（50），（70）

师：你是在五个五个地看吗？

生：是的，我把前面5个数看成一组，相邻两个数相差5，接下去70、65、60、55不断重复。

【反思】

正当我为学生独特的思维品质而高兴的时候，笔者办公室里的老师对此题分为两种观点：一种认为数学题目的答案是唯一确定的，只有等差数列70，（65），60，55，（50），（45）符合题意：另一种认为此题的答案有很多，只要学生能说出合理的想法都可以，

这不禁让我想到了“一千个读者就有一千个哈姆雷特”，数学的精确性使得用不同的解题方法都通往同一个结果，数学的模糊性又使得用不同的解题视角通往不同的数学维度。对于一年级学生，他们关注的差异性导致思维的多元性，从而产生答案的多样性，虽然有些想法并不完美，但这些都是学生呈现的真实想法。

那么，为什么有的老师不能包容有合理解释的答案呢？我想有两个主要原因：一是教师定势思维的“唯一性”，大部分教师看到这题后条件反射出等差数列或者从出题者的意图想到此题是考查学生对等差数列规律的知识，从而不再深入研究学生遇到这题时会怎么想，还会有哪些答案：二是应试教育评价的“唯一性”，面对试卷或练习中的题目，教师经常教育学生只有一个和参考标准一样的答案，既方便教师的批改，又能让学生得高分。

因此，笔者认为教师和出题者应当转变观念，顺应学生各个阶段的想法。

首先，教师应当减少定势思维，扩宽观察角度和思维方式。通常在应试的压力下，大部分教师在备课时都以参考答案为标准，其实我们要多问问学生、书本、同行、专家，了解学生的真实思维，关注数学的实质，切不可用教师的思维代替学生的想法。同时在课堂上教师要让位给学生，倾听学生想法的来龙去脉，读懂学生的思维，贴着学生的想法去教，让学生成为有思想、爱表达的人，而不仅仅是考试的机器。

其次，出题者应当反复斟酌题目，关注学生的思维。教材和教参对“规律”的界定没有明确强调必须是连续性的规律，应当允许学生在儿童世界里没有条条框框限制时写出的跳跃性规律：我们应强调找规律填空的意义在于加强对一般性数列规律的熟悉，虽然它有很多解，但主要是培养你寻找数列一般规律和猜测数列通项的能力（即运用不完全归纳法的能力）。

如此题就3个不连续的数让学生发现规律填数，笔者认为出题者不妨将此题设计成开放题：“你能找出多少种不同的规律？70，（ ），60，55，（ ），（ ）”，不仅减少了题目的争议，还可以发展学生的数据分析观念和创新意识，培养学生的创造性思维，让不同的学生在数学上得到不同的发展。