浅议定积分的概念教学

葛守富

（火箭军工程大学士官学院 山东 青州 262500）

摘 要：定积分概念的教学一直是高等数学教学的难点之一，本文将从问题情境出发，帮助学生进行意义建构，进而使学生形成定积分概念。在这个过程中，我们通过几何和物理两个情境搭建起定积分的概念模型，从而达到突破难点的目的。

关键词：定积分；问题情境；极限

微积分是高等数学的主要内容之一，在微积分的教学过程中，定积分的概念既是积分学的重点，也是积分学的难点，因此，我们采用问题情境教学，帮助学生从几何和物理两个方面进行意义建构，形成定积分概念，最后我们回扣经典问题，形成定积分的几何模型。

一、创设问题情境——两个经典引例

首先，我们引入求不规则平面图形的面积问题，如计算地图中某个省份的面积。我们经过划分，将不规则平面图形划分成若干曲边梯形，只要我们能够找到求曲边梯形面积的一般方法，就可以解决不规则平面图形的面积问题。将曲边梯形放到坐标系中研究。

设函数y=f（x）在区间[a，b]上非负、连续。由直线x=a，x=b，x轴和曲线y=f（x）所围成的图形称为曲边梯形，其中曲线y=f（x）是曲边。在区间[a，b]内任意插入n-1个分点x1，x2，…，xn-1，令a=x0，b=xn，将区间[a，b]分成n个小区间[x0，x1]，[x1，x2]，…，[xn-1，xn]，记△xi=xi-xi-1，i=1，2，…，n。作直线x=xi，i=1，2，…，n-1。将这个曲边梯形分成n个小曲边梯形，记第i个小曲边梯形的面积为△Ai，i=1，2，…，n，然后对每个小曲边梯形用一个矩形来代替，任取 ，以△xi为底，以 为高这样的矩形面积近似代替第i个曲边梯形的面积△Ai，i=1，2，…，n，再将这些矩形面积求和，近似代替曲边梯形的面积。当这种分割越细时，每一个小矩形面积就越接近小曲边梯形梯形面积，也就是说，小矩形上面的直边就越接近小曲边梯形的曲边，或者说，局部以直代曲。当这种分割无限细时，这些矩形的面积之和就无限趋近整个曲边梯形的面积，这就是取极限的过程。令 ，曲边梯形的面积 。我们通过以上四个步骤分割、近似替代、求和、取极限，我们得到一个特殊和式的极限，这实际上是一种特殊的无限求和。比如说，如果我们把每一个矩形看做一个抽屉，第一个抽屉有五个苹果，第二个抽屉有八个苹果，第三个抽屉有七个苹果，第四个抽屉有五个苹果，第五个抽屉有六个苹果，第六个抽屉有七个苹果，一共有多少个苹果啊？小朋友就可以把它们数出来，等上学了，他们就知道这是一种求和，到了现在，只是这种求和复杂了一些，抽屉不再是一个两个这样的自然数，而是连续的实数，苹果也不再是七个八个这样的自然数，而是以抽屉为自变量的连续函数，这种无限求和就是定积分。

其次，我们来看变速直线运动的路程问题。设物体在时间间隔[T1，T2]上的速度函数是v=v（t），在时间段[T1，T2]内任意插入n-1个分点t1，t2，…，tn-1，令T1=t0，T2=tn，将区间[T1，T2]分成n个小区间[t0，t1]，[t1，t2]，…，[tn-1，tn]，记△ti=ti-ti-1，i=1，2，…，n。设物体在第i个小时间段[ti-1，ti]上运动的路程为△si，虽然物体在这个小时间段上仍做变速运动，因为时间段小，速度变化就小，任取

，以 代替这个小时间段上的平均速度，我们有 ，i=1，2，…，n。在每个这样的小时间段上以匀速代替变速，当分割越细时，这种近似程度就越好，这时它们的和就越接近时间段[T1，T2]上的运动路程s。令

，物体在时间段[T1，T2]上的路程 。通过以上四个步骤分割、近似替代、求和、取极限，得到这样一个特殊和式的极限。

二、进行意义建构——形成定积分的概念

以上两个问题的共性是：解决它们的方法步骤相同，都是经过四个步驟分割、近似替代、求和、取极限，得到的结果本质上相同都是一个特殊和式的极限。我们把它们的共性抽象出来就是定积分的定义。

定义：设函数f（x）在区间[a，b]上有界，在[a，b]内任意插入n-1个分点a=x0

，即 。其中f（x）叫做被积函数，f（x）dx叫做被积表达式，x叫做积分变量，a叫做积分下限，b叫做积分上限，[a，b]叫做积分区间。

三、回扣经典问题——定积分的几何意义

通过定积分的定义可以看出，若函数y=f（x）在区间[a，b]上非负、连续，则f（x）在区间[a，b]上的定积分就是由直线x=a，x=b，x轴和曲线y=f（x）所围成的曲边梯形的面积 。这就是定积分的几何意义，即曲边梯形的面积。并且规定曲边梯形在x轴上方时定积分为正，在x轴下方时定积分为负。然后我们用定积分的几何意义来解释定积分的性质时，会更形象，更直观，更有利于学生的掌握。

比如说，定积分性质中的积分中值定理，若f（x）在闭区间[a，b]上连续，则在区间上必存在一点，使得在上的定积分等于f（ ）·（b-a），用几何意义来说，对于这个曲边梯形的面积，就一定能在y=f（x）这条连续曲线找到一个点，使得这样一个矩形的面积等于曲边梯形的面积，也就是能使得曲边梯形比矩形多出的这块面积等于曲边梯形比矩形少的这块面积。从这个性质能够进一步说明定积分实质上是连续函数f（x）在区间[a，b]上函数值的无限求和， 就是连续函数f（x）在区间[a，b]上的平均值，因此，这个积分中值定理又称为均值定理。

本文从三个方面阐述了如何利用问题情境教学法设计定积分概念的教学思路。问题情境教学法是数学概念教学的主要方法之一，这样设计不仅有利于帮助学生建构数学概念，而且还培养了学生归纳抽象的思维能力。