明道，优术

【摘要】从理解教材知识编排顺序、理解学生认知规律、理解命题技术及变式教学的角度对数学及数学教学进行研究，指明中考数学复习应明研究数学之道，明数学教学之道，优数学教学之术。

【关键词】理解教材 理解学生 理解命题技术 变式教学

【中图分类号】G623.5 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2017）06-0255-02

中考数学复习应做到“明道，优术”。明道，即把握研究数学的规律，把握数学教学的规律。优术，即优化数学教学的方法。

一、理解教材，明研究数学之道

教材是中学教师研究数学的素材。从教材对教学知识的编排顺序中，能够看出研究数学的方法。中考数学复习过程中，教师通过引导学生理解教材，把握研究数学的规律，对学生的问题解决能力的提升大有裨益。

以初中平面几何中三角形的教材编排为例，教材从线段、射线、直线、余角、补角、对顶角、平行、垂直讲起，为后续研究三角形作铺垫。构成三角形的要素有：边、角、三角形内部、三角形外部。两点之间线段最短公理是研究三角形三边关系的理论基础。在研究三角形的内角和为π时，添设平行线，利用平行线的性质是证明该问题的关键。理解三角形内角和为π后，作一般化思考n边形的内角和。将n边形割成（n-2）个三角形，得到其内角和为（n-2）π，该教学过程体现了化归与转化思想。三角形按角分，可以分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形。观察可知：一个三角形中最多有一个钝角，其证明方法为反证法。由对内角的研究，自然想到其外角，三角形的每一个外角都与其相应的内角互为补角。将内角和看成整体，则外角和为nπ-（n-2）π=2π，运算过程体现整体思想。在边、角研究之后，任意取其中三个要素（AAA，SSA除外）便能确定一个三角形，可以从“SSS、SAS、ASA、AAS”角度判定。“SSA”（边边角）组合在角为直角或钝角时成立，角为直角时，判定定理描述为“HL”；角为钝角时，作锐角所对边上的高，通过AAS证明小直角三角形全等，进而得高相等，再由HL证明大的直角三角形全等是证明钝角三角形“SSA”成立的关键。确定了三角形后，考虑三角形的内部因素：垂直平分线、内角平分线、高线、中线。利用线段的轴对称性可证垂直平分线的性质，由HL可得垂直平分线的判定定理。类似地，利用角的对称性可证角平分线的性质，由HL可得角平分线的判定定理。由此，学生就能理解在此之前学习“轴对称性质”以及運用边、角要素判定三角形全等的必要性。理解三角形垂直平分线、内角平分线的性质与判定定理后，可证三角形三条垂直平分线交于一点、三条内角平分线交于一点，分别为三角形外接圆圆心（外心）和内切圆圆心（内心），为后续圆的学习作铺垫。

研究一般三角形的性质及判定后，考虑三角形在特殊情形下的性质及判定，如等腰三角形、直角三角形的性质及判定。在研究等腰三角形的性质后，便可将边、角联系起来，可证一般三角形的性质“大边对大角，大角对大边”。直角三角形的性质及判定，从“角”看，垂直、余角的概念及三角形内角和定理可用于研究直角三角形角的关系；从“边”看，主要研究勾股定理及其逆定理。其中勾股定理的证明，欧几里得证法渗透转化思想、加菲尔德证法蕴含“算两次”（富比尼原理）。勾股定理逆定理的证明可通过三角形全等、勾股定理来证明。勾股定理可以看作余弦定理的特例，为后续研究余弦定理，证明海伦公式埋下伏笔。

二、理解学生，明数学教学之道

学生喜欢趣味教学。在勾股定理证明时，除欧几里得证法、加菲尔德证法外，还有其他证法，其中“刘徽割补术”能够培养学生对我国数学史的兴趣。

学生需要自主探究。在学完等腰三角形、直角三角形的性质及判定后，后续四边形性质及判定的学习可借助三角形的有关性质、判定定理进行探究；可让学生自主学习、探究、讨论，教师适当引导、点拨即可。

三、理解命题，优数学教学之术

教材是中考试题的发源地。大部分中考试题源自教材例题、习题的改编。文《例谈试题打磨的九种方法》[1]论述了试题改编、打磨的技术，可用于优化数学教学。譬如：教材例题对“三角形三条垂直平分线交于一点、三条内角平分线交于一点”给与了证明。中考复习时，教师可将命题推广到三角形内部类似要素中，设置变式题组。如：（1）求证：三角形三条高线交于一点；可过三角形三个顶点作对边的平行线，并连接交点，在三角形外部组成一个大三角形，则三角形的高线为其外部大三角形的垂直平分线，而“三角形三条垂直平分线交于一点”教材中已给出证明，该法渗透化归与转化思想。在学生理解其数学思想、解题思路的基础上，还可由两个垂直想到四点共圆，连接两条高与相应底边的垂足进而求证，亦可通过塞瓦定理求证，拓宽学生的思维角度。（2）求证：三角形三条中线交于一点；可通过作一组平行线，利用三角形相似和中位线的判定与性质定理证明另一组直线平行，判定平行四边形，再利用其对角线互相平分的性质得中点，证得三角形三条中线交于一点。还可通过面积法证明，锻炼学生思维品质。若问题（1）、（2）两题用来给高中生锻炼思维，均可通过坐标法、向量法求解。若问题（2）用来给大学数学专业学生练习，还可通过德萨格定理逆定理求解，由中位线的性质知：两个三点形对应边分别平行，即每一组对应边的交点均为无穷远点，从而均落在无穷远直线上，由德萨格定理逆定理得：对应顶点的连线交于一点，即三角形三条中线交于一点。

如此，理解命题，学会一题多变地去研究问题、一题多解地去思考问题、一法多用地去归结问题，数学教学必将事半功倍。

参考文献：

[1]刘蒋巍. 例谈试题打磨的九种方法[J]. 文理导航（下旬），2016，No.252（12）：98.