基于噪声白化的高光谱数据子空间维数算法

陈洁， 杜磊， 李京， 韩亚超， 高子弘

(1.中国国土资源航空物探遥感中心，北京 100083； 2.中国科学院遥感与数字地球研究所，北京 100101)

基于噪声白化的高光谱数据子空间维数算法

陈洁1,2， 杜磊1， 李京1， 韩亚超1， 高子弘1

(1.中国国土资源航空物探遥感中心，北京 100083； 2.中国科学院遥感与数字地球研究所，北京 100101)

高光谱影像数据的相邻波段间相关性较强，信号与噪声共存，根据最小二乘原理，使观测数据与噪声的投影误差之和最小化的HySime (hyperspectral signal identification by minimum error)算法，通过数据观测值减去噪声估计值后得到信号的估计值，进而可以计算信号相关矩阵的估计值。该算法在准确估计噪声的情况下是可行的，但实际上经光谱降维去相关后得到的各像元噪声估计值往往并不准确，因此，原始的HySime算法得到的结果可能并不理想。提出一种基于噪声白化的HySime改进算法，它不必进行逐像元的噪声去除，而是先对原始数据进行噪声白化处理，然后准确获取噪声的协方差矩阵估计值，再利用HySime算法进行信号相关矩阵计算，实现了提高算法精度的目的。通过模拟和实验数据的验证，改进的算法结果更准确稳定，与经典的NSP (noise subspace projection)算法在不同情况下所得结果有很好的一致性，通过引入噪声白化的过程，提高了算法对非白噪声的适应性。

高光谱降维; HySime; 噪声白化; 信号相关矩阵

0 引言

以小于20 nm光谱分辨率进行数据采集的高光谱数据的相邻波段间通常具有较强的相关性，它们的DN值以及显示出来的视觉效果往往很相似。若把高光谱图像表达成一个矩阵，矩阵的每一列代表其对应波段的光谱响应数据值，可以通过对该矩阵进行一系列运算，使得变化后的矩阵前若干列波段数据就可以表示原图像的大部分信息，而后几列的数据则主要以噪声为主。通过这样的方法可以用低维数的数据代表高维数据，减小了数据处理量的同时，也抑制了噪声的影响。数据降维结果的好坏将直接影响到下一步端元提取算法的最终效果，在数据降维的过程中，如何选择合适的去相关方法和怎样准确确定所需低维数据的维数，是2个重要的关键步骤。

经过多年的研究，高光谱数据在去相关方面已有相对成熟和稳定的方法，并已得到广泛应用。去相关变换，就是去除高光谱数据波段间相关性的变换，即变换后数据波段处于不同的维度空间，代表数据的矩阵列相互正交。主成分变换(principal components analysis, PCA)和最小噪声分离(minimumnoise fractions, MNF)是当今使用最频繁的两种去相关算法。PCA变换就是通过一种基于K-L的线性变化，它将原始图像矩阵中的变量变成一组不相关的随机变量，并按照协方大小顺序排列，组成新的图像矩阵。一般情况下该矩阵第一个主成分含有所有波段中80%的方差信息。但PCA变换对噪声比较敏感，即信息量大的主成分分量，信噪比不一定高，当某个信息量大的主成分中包含的噪声的方差大于信号的方差时，该主成分分量形成的图像质量就差。因此，Andrew等[1]提出了MNF变换，该方法本质上是两次PCA的重叠运算，变换后的数据向量相互正交，第一分量集中了主要的信息，与PCA变化不同的是向量按照信噪比大小排列，从而克服了噪声对影像质量的影响。随后，James等[2]提出了NAPC变换方法(noise-adjusted principal component, NAPC)，一般认为MNF和NAPC算法等价，称呼起来也一般将两者等同[3]。实际应用中，往往按照NAPC方法的思路来实现。

但数据维数的确定方法还处在研究阶段。PCA和MNF变换方法，在变换之后都有同一个问题需要解决，即“选取多少个主分量”，换句话说，就是低维数据究竟选多少维来代表高维数据才合适。实际应用中需要研究者根据个人经验进行选择，这使得维数的确定有很强的主观性和盲目性，而维数选取的正确与否，将直接影响后续处理的精度和数据分析，因此，选用适当的准则和方法确定最优的维数，对接下来的数据处理和分析有着重要意义。基于上述考虑，本文分析和梳理了常用的噪声白化处理方式和子空间维数确定方法，提出了一种以噪声白化为基础的高光谱数据子空间维数计算方法，然后利用该算法对模拟和实际数据进行维数计算，最后通过与不同的算法的对比来检验其稳定性和准确性。

1 噪声估算与白化

在各种因素的影响下，获取影像信息的同时不可避免地采集了噪声，而图像噪声的影响是不容忽视的，为此在对影像质量进行评估、解译、分析和应用之前，都需要进行噪声估算。目前，遥感影像噪声估计主要有3种方法： 试验室法、暗电流法和图像法。试验室法和暗电流法都需要对图像有一定的先验知识，需要一系列复杂的精确测量，在实际应用中实现较难； 图像法则利用遥感影像直接进行分析来估算噪声，因此该方法被广泛应用于图像的噪声估算[4]。针对高光谱影像，基于图像法进行噪声估算，主要利用了高光谱图像的相同类别和性质像元的空间域相关性和高光谱数据波段间的波段域相关性。

1.1 噪声估算

通过上述分析可知，高光谱数据相邻波段间往往具有很强的相关性，噪声估算的基本思想就以此为基础： 多元线性回归算法的运用一方面可以消除波段间的相关性，另一方面可以将计算得到的波段残差作为噪声的估计。目前常用的方法有Roger提出的全图光谱维去相关法[5]，即对整个图像进行逐像元的噪声估计，计算噪声协方差矩阵并予以去除，认为其结果即为信号真实值。和Roger及Arnold提出的空间、光谱维去相关法(spectral and spatial decorrelation method, SSDC)[6]类似，SSDC方法同样是在进行信号去相关处理的同时，计算信号残差值，并以此作为噪声估计进行去除，其优势在于它利用高光谱图像像元在相邻空间域和光谱域的相关性，受地物覆盖类型影响小，自动化程度高，无需人工干预，是目前较稳定的高光谱图像噪声评估方法之一[7]。SSDC方法实现步骤如下[8]： ①首先需要对整个高光谱图像数据进行分块处理。数据分块要求数据块连续、均匀且相互不重叠。理论上分块越小则均一性越高、数据越独立，但为了使分块数据的回归分析结果具有一定的统计意义，数据块的大小一般推荐为15行×15列； ②求取对各数据块进行多元线性回归运算的回归参数，并计算噪声方差； ③针对高光谱影像的任一波段，取所有均匀子块方差的均值作为该波段图像的噪声方差的最优估计。实际应用中，由于分块得到的子块并不总是均匀的，因此可以只选取其中合理的子集进行方差检验。子集的选取可以通过对方差进行排序，然后前后各去掉15%来实现。

1.2 噪声白化

噪声白化是指对噪声数据进行去相关，且噪声协方差被单位化的过程。若a为m×1维随机向量序列(均值=0)，则其协方差矩阵可表示为一个m×m维的矩阵Ca，如果该协方差矩阵Ca非奇异，且不为单位矩阵，则称随机向量a为有色(或非白)随机向量。令协方差矩阵特征值分解为

Ca=VDVT,

(1)

且

(2)

记变换

(3)

则b的协方差矩阵为单位矩阵I，即随机向量b是标准白色随机向量，换言之，有色的随机向量a经过线性变换Wa后，变成了白色随机向量。一般将线性变换矩阵W称为随机向量a的白化矩阵。

通过研究发现，对于某一随机变量，能使其进行白化的变换矩阵并不是唯一存在的[9]，例如上述分析的W矩阵和通常MNF变换中使用的白化矩阵

(4)

都可以达到使a白化的效果。进一步的研究显示，当采用不同的白化矩阵，所得的白化结果b并不一样，以变换矩阵W和FT为例进行如下实验说明：

通过以上实验和结果可知，虽然变换矩阵W和FT都可以使随机变量a“白化”，但白化矩阵W的变换结果并不改变变量a原有的分布特征，而白化矩阵FT则不论变量a原有的分布特征如何，变化后均呈高斯分布。在对高光谱数据进行处理时，通常会假设高光谱信号数据与噪声之间不相关，即噪声协方差矩阵为对角阵，因此当对高光谱观测数据进行白化时，建议采用噪声FT作为其白化矩阵。

2 HySime算法

José M. Bioucas-Dias(2008)[10]根据最小二乘原理，提出了HySime (hyperspectral signal identification by minimum error)算法。HySime是一种估算高光谱数据子空间维数的方法，该方法首先估计信号与噪声相关矩阵，然后选择以最小均方误差形式最优地表达信号子空间的特征向量子集。

(5)

特征值分解为

(6)

式中

E=[e1,…,eL]

(7)

所张成的L维空间可以分解为2个互相正交的子空间〈Ek〉和〈Ek〉⊥，对应的特征向量分别记为

Ek=⎣ei1,…,eik」,

(8)

(9)

用于记录特征向量的排列顺序L，即

L={i1,i2,…,iL}。

(10)

若子空间〈Ek〉上的投影矩阵记为

(11)

则y在〈Ek〉上的投影为

(12)

(13)

式中： 第一项表示投影误差能量，随着k的增大，该项减小； 第二项表示噪声能量，随着k的增大，该项增大。

由于公式(11)和

(14)

将式(13)进一步表示为

(15)

(16)

由此，式(15)等号右侧最小值的求取，只需找出δi的所有负值即可，这样对应的(k,L)即为所求的值。

José M. Bioucas-Dias在介绍HySime算法时，将端元数目估算过程与信号子空间的确定联系起来，通过该算法确定的子空间能最近似地表达原始数据信息，所以该子空间的维数等价于需要估算的端元数目。

3 算法改进

分析式(15)和式(16)可知，Hysime算法中，噪声相关矩阵的估算和信号相关矩阵的估算是非常重要的2个步骤，它们所对应的特征向量值计算也直接影响着最终的结果。在原始的Hysime算法中，噪声估算采用的是逐像元的进行噪声估计的全图光谱维去相关法，得到每个像元的噪声估计值后，用原始数据观测值减去噪声估计值后得到近似真实信号的估计值，进而可以计算信号相关矩阵的估计值。也就是说，原始HySime算法中处理噪声采取的策略是“去除”[11]，该方法对于准确估计图像噪声的情况下是可行的，但实际应用中，要对整幅图像的每个像元噪声值都进行精准估计的计算量和难度很大，而且往往不太可能真正实现，因此，利用原始HySime算法进行噪声估计和去除的结果精度可能并不理想。

(17)

通过上式得解算可知，当噪声为白噪声，不论噪声大小如何变化，HySime算法所求得的特征向量保持不变，即特征向量所确定的子空间不随噪声的变化而变化。由此可见，若某一观测数据的噪声为有色噪声时，可以首先对其噪声进行白化变换，然后再利用HySime算法对数据进行噪声估计，从而消除该算法对噪声变化的影响，提高对噪声变化的适应能力。

(18)

对数据进行噪声白化，将白化后的观测数据记为yw，并将yw作为原始Hysime算法的输入数据，此时噪声为白噪声，所以其协方差矩阵为单位矩阵，即

(19)

观测数据相关矩阵记为Ryw，则信号相关矩阵为观测数据减去噪声数据，即

(20)

(21)

故式(15)可表示为

(22)

即噪声白化之后，(2-pij)的所有负值对应的(k,L)即为所求的子空间维数。

4 验证与分析

4.1 模拟数据实验

模拟数据是在已知的信号数据中人工添加噪声构成的。信号数据由若干端元波谱乘以各自对应的丰度得到，其中端元波谱从美国地质调查局(United States Geological Survey,USGS)光谱库中随机选择，并将光谱曲线参照AVIRIS的响应函数和中心波长重采样到224个波段； 丰度数据按照Dirichlet分布随机生成。选择Dirichlet分布的原因在于，它可以保证各端元的丰度值为非负且所有的丰度值相加和为1，而且通过改变Dirichlet分布的参数，可以方便地改变各端元的分布形状，使得模拟数据的生成有很强的灵活性[13]。在获得信号数据之后，可以根据实验分析的需要加入一定量的噪声值以得到特定的信噪比数据。另外，为模拟真实的高光谱数据中不存在只含有某一种端元的纯像元情况，可通过设置最大丰度阈值ρ来控制像元“纯度”，即在得到服从Dirichlet分布的丰度样本后，根据需要对所得候选样本进行筛选。

模拟数据实验的目的主要有2个方面，一是对比不同情况下改进算法与原算法的计算结果，二是以NSP(noise subspace projection)算法[14]作为参考，评价改进算法的优劣。NSP方法只利用样本协方差矩阵或者相关矩阵的特征值估计端元数目，并且在样本数据量较少和缺少先验知识的情况下，仍能较好地进行端元估算，具有较好的稳定性和实用性。

实验策略如下： 分别取5,10,15,20为不同的端元数p，端元丰度满足Dirichlet分布，构成信号数据，对以上4种信号数据分别加入一定量的噪音，使它们的信噪比SNR分别为15 dB，25 dB和35 dB，加入的噪声又分为白噪声和有色噪声，丰度阈值ρ取1，上述每种组合都生成100组模拟数据，利用原始Hysime算法、改进的Hysime算法和NSP算法对上述数据进行测试。由于人工加入的噪声信号相对简单，所以噪声估算方法采用逐像元估算的全图光谱维去相关法。这里将虚警概率取值为10e-3和10e-4的NSP算法记为NSP_10e-3和NSP_10e-4。针对每种参数组合下的100组模拟数据进行信号子空间估计，将计算结果的均值和标准差作为评价指标。将各种算法最接近端元真实值的均值，和最小的标准差用粗体字体标出，若这两个评价标准同时出现在同一个算法中，则表明该算法结果较其他算法更准确和稳定。所得结果如表1所示。

表1 不同参数条件下不同算法所得结果的均值和方差比较

通过表1的分析，可得出： ①在大多数情况下，改进的HySime和NSP算法估算的子空间维数更接近真实端元数目，不同情况下该算法的稳定性也较高； ②当噪声为白噪声时，改进的HySime与原始的HySime算法在不同参数条件下还具有一定程度的一致性，但噪声为有色噪声时，改进的算法在端元估计的准确性和稳定性上都要明显优于原算法; ③改进的Hysime与NSP算法在不同参数条件下对端元的估算结果基本一致，这是因为两算法在确定最优子空间之前，都对原始数据的噪声进行了白化处理; ④白噪声情况下，随着信噪比的增加，各算法对信号子空间维数估计的精度也随着提高。因为信噪比越高，信号对噪声的抑制能力越好，噪声对算法的影响也越小，这也从一个侧面说明了噪声估算和去除的重要性; ⑤在低信噪比条件下，噪声为有色噪声时Hysime_White与NSP算法所得结果与真实值吻合更好。因为当噪声趋向于单波段噪声时，噪声主要存在于图像的少数几个波段，此时噪声更容易与信号分离，因而估计的信号子空间也更准确。

4.2 真实数据实验

实验数据1997年6月采集的Nevada州Cuprite采矿区AVIRIS数据。该数据的DN值代表反射率，它含有400 nm至2 500 nm 的224个波段，辐射分辨率10 nm，空间分辨率20 m。通过初步分析，去掉了由于水汽吸收和信噪比较低的波段，仅使用余下的192个波段。

图1为USGS发布的利用AVIRIS数据对Cuprite矿区的矿物填图结果。

图1 Cuprite采矿区典型矿物分布图(来源USGS网站)

Cuprite采矿区有详细的地面调查数据及背景资料。Gregg Swayze 等[15-16]利用1990年AVIRIS获取的数据，从中确定了18种矿物类型，并通过对实地采样样本的X射线衍射矿物类别分析，验证了分析结果; 利用1995年AVIRIS获取的数据，分析了25种矿物的分布情况，并对23种矿物进行了矿物填图。

从上述已有研究的结果中可以总结出，对Cuprite采矿区进行“维数估算”所得结果大致在18～30之间[14-15]。本文使用与模拟数据相同的四种算法，即HySime、改进HySime、虚警概率值分别为10e-3和10e-4的NSP算法对该实验区域进行最优子空间估算，其中噪声估算分别采用全图光谱维去相关法和SSDC方法进行，所得结果如表2所示。

表2 Cuprite采矿区域维数估算结果

表2中的维数估算结果为26和27，与前人所估计的18-30维[14-15]有较好的一致性。同时也略大于18种和25种端元的结果，这是由于地物混合中非线性因素的影响、未知地物类型的存在以及光谱变异，得出的光谱维数估计值往往会大于实际的端元数[17]。

为了对本次维数估算结果的有效性进行评估，对Cuprite采矿区高光谱图像采用MNF变换，选择其结果的不同波段组合进行纯像元指数(pure pixel index,PPI)计算，投影的迭代次数设置为20 000，阈值系数设置为2，在结果中统计PPI>1的像元数，结果如下表3所示：

表3 不同参数下的PPI计算结果

PPI越大说明拥有的纯像元可能性越大，光谱空间维的可分性越强。表中的数据说明，当波段数为26和30时，像元数目比较接近。通过查看MNF变化后的第40分量影像，其所含有的原影像信息已十分有限，主要体现为噪声。因此可以推断，经MNF变换后的影像主要信息大多集中在前40个波段中，随着波段数的增加，其所含有的噪声也随之增多，而此时选取前26和30个波段进行PPI的计算所得像元数目比较接近，说明前26和前30个波段子集已经可以对原始高光谱影像信息进行较完整地表达，两个波段数下所得的像元数接近，两者具有较好的一致性。而波段数为10和20时，像元数较少，表明此时选择的波段子集过小，导致原影像信息表达得不完全。40波段之后主要为噪声信息，40和50波段数时像元数的增多可能是受噪声数据的影响。

为了进一步验证上述分析，选取上述6种情况下所得像元集合的交集，共得到475个像元。表明这475个像元在6种情况下都被标记为纯像元，它们受噪声影响较小，代表了最有可能成为端元的像元，记这一集合为Φ。光谱角表征的是未知光谱的响应曲线构成的N维空间矢量，与已知类别的光谱响应曲线构成的N维空间矢量之间的广义夹角，夹角越小说明越相似。因此，可以通过计算光谱角来分析上述6种情况中除去交集的475个像元，剩余的像元相对于集合Φ的“独立性”，光谱夹角越大，表明像元越“独立”于集合Φ，像元属于纯净像元的可能性越高。上述6种情况下计算所得的光谱夹角的最大值中，波段数为10时夹角最大值最小，为2.756°； 波段数为50时夹角最大值最大，为4.188°，而波段数为26和30时，夹角最大值基本一致，为4.114°，且与其他波段数的夹角最大值有明显区别。这表明维数估算方法得到的信号子空间能很好地表达信息，也表明估算得到的维数应用于数据分析是有效的。

5 结论

1)改进的HySime维数估算算法，不需要逐像元地进行噪声估算，一方面减少了计算量、提高了解算效率； 另一方面，消除了因噪声估算不准确带来的误差效果，提高了结果精度。

2)改进的HySime维数估算算法不依赖于噪声均值为零的假设条件，使原算法有了进一步的普适性，针对白化和有色噪声数据，都能获得接近真实维数值得结果。

3) 噪声估计在实际的高光谱数据处理和分析中占有重要作用，不论噪声为白色或有色的，对它的准确估计和消除，都会显著提高高光谱数据的解译精度。

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(责任编辑： 邢宇)

Hyperspectral data subspace dimension algorithm based on noise whitening

CHEN Jie1,2, DU Lei1, LI Jing1， HAN Yachao1, GAO Zihong1

(1.ChinaAeroGeophysicalSurveyandRemoteSensingCenterforLandandResources,Beijing100083,China; 2.InstituteofRemoteSensingandDigitalEarth,ChineseAcademyofSciences,Beijing100101,China)

The correlation between adjacent bands of hyperspectral image data is relatively strong. However, signal coexists with noise. The HySime (hyperspectral signal identification by minimum error) algorithm which is based on the principle of least squares is designed to calculate the estimated noise value and the estimated signal correlation matrix value. The algorithm is effective with accurate noise value but ineffective with estimated noise value obtained from spectral dimension reduction and decorrelation process. This paper proposes an improved HySime algorithm based on noise whitening process. Instead of removing noise pixel by pixel, the algorithm carries out the noise whitening process on the original data first, obtains the noise covariance matrix estimated value accurately, and uses the HySime algorithm to calculate the signal correlation matrix value so as to improve the precision of the resultant value. Simulation and experiment have reached some conclusions: Firstly, the improved HySime algorithm is more accurate and stable than the original HySime algorithm; Secondly, the improved HySime algorithm results have better consistency under different conditions compared with the classic NSP (noise subspace the projection) algorithm; Finally, the improved HySime algorithm improves the adaptability of non-white data noise with the noise whitening process.

Hyperspectral dimension reduction； HySime； noise whitening； signal correlation matrix

10.6046/gtzyyg.2017.02.09

陈洁，杜磊，李京,等.基于噪声白化的高光谱数据子空间维数算法[J].国土资源遥感,2017,29(2):60-66.(Chen J,Du L,Li J,et al.Hyperspectral data subspace dimension algorithm based on noise whitening[J].Remote Sensing for Land and Resources,2017,29(2):60-66.)

2015-12-22；

2016-01-15

中国地质调查局地质调查项目“天山-北山重要成矿区带遥感调查”(编号： 121201003000150008)和“高光谱地质调查技术方法研究”(编号： 1212031513012)共同资助。

陈洁(1980-),男,高级工程师,主要从事航空摄影技术方法、数据处理及遥感地质应用的研究。Email： 6592296@qq.com。

TP 751.1

A

1001-070X(2017)02-0060-07