基于解决抗生素危机的数学模型

肖乐乐，游仁青，吕 通，赵巧佳，吕 波

1吉林大学；2齐鲁师范学院；3重庆师范大学；4长安大学

基于解决抗生素危机的数学模型

肖乐乐1，游仁青2，吕 通3，赵巧佳2，吕 波4

1吉林大学；2齐鲁师范学院；3重庆师范大学；4长安大学

从供需角度分析抗生素动态利益链，构建蛛网动态分析模型，采取二阶差分，预测感染率并以此检验模型合理性。预测危机的发展趋势，及其危机性的强弱。在大自然环境制约下，基于大肠埃希菌对抗生素数据构建Logistic回归模型，并对模型进行了优化，构建M althus模型，最大限度的拟合抗生素耐药菌的增长状况。设计一种使用抗生素的超级细菌可用的管理系统，进行OLS估计，得到OLS估计方程，同时依据激励相容约束与参与约束基本理论，给出建议。

Logistic回归模型；抗生素利益链；二阶差分模型

1 有关抗生素问题分析

在抗生素利益链的基础上建立一个“抗生素战争”模型。提供一个关于抗生素与敏感性利益链的量化模型，构建影响供需主因子CGE模型，抗生素效果可用耐药菌数目反应，基于蛛网理论构建蛛网模型，并优化模型，采取二阶差分预测同一季度不同年份的感染率来检验模型的可靠性。在完全竞争市场中预测抗生素危机发展趋势，通过耐药菌数量与增长速度变化预测危机性强弱。基于大肠埃希菌对抗生素数据构建Logistic回归模型。设计使用抗生素的超级细菌管理系统，进行OLS估计，得到OLS估计方程，同时依据激励相容约束与参与约束基本理论，给出建议。

2 抗生素利益链的模型建立与求解

2.1 抗生素利益链

由于抗生素药物是处方药，国家对抗生素药物使用具有一定的控制，但医药代表会根据药店进货量给予相应提成，药企通过他们把抗生素流向药店，至少药店有30%的利润回扣。

2.2 模型建立

在抗生素利益链中存在三个经济主体，即抗生素的生产者、消费者、政府，其中政府主要起到监管作用，CGE模型以一般均衡理论为基础，结合理性经济主体的行为假设来分析一般均衡条件，并在比较静态框架下模拟政策干预和外生冲击的影响。

（1）对消费者行为进行分析,效用函数采用柯布道格拉斯函数：

其中，ai是第i种抗生素在消费中所占的比例，α1+α2+…+αN=1；Ac是规模参数，ci是消费者对各种抗生素的消费量。

消费者在预算约束下最大化效用，其行为可描述如下：

其中，m是消费者的要素禀赋收入，vfj是厂商j对第f种要素的支出，h是易感人群数目。

解得消费者的各种抗生素需求为：

（2）厂商利润受收益和成本的影响，建立利润函数：

（3）对政府行为进行分析，政府主要通过经济税收手段，政府行为可用如下公式描述：

T=τy（其中，T为政府对滥用抗生素的处罚。）

2.3 基于蛛网模型的动态分析

把长周期内量化的耐药菌株数看做是时间的函数，抗生素产量也看做时间函数。

抗生素药物产量视作经济单位产品，经过易感人群产生的耐药菌株数作为经济单位需求，细菌要取得耐抗生素付出的成本作为价格Pt。供给者根据上期的价格决定本期的产量，即本期的耐药菌数受到上期抗生素的供给的影响，现实中只能按照本期的价格Pt出售由预期价格决定的产品。由此分析，当随时间的推移易感人群对抗生素的依赖程度小于细菌的耐药基因遗传速度时，抗生素的影响逐渐趋于减弱，最终趋向于均衡水平点E，是模型均衡稳定的条件，如图1所示；同理，当随时间的推移易感人群对抗生素的依赖程度大于细菌的耐药基因遗传速度时，抗生素的影响越来越强，最终远离均衡点E形成发散，如图2所示；当随时间的推移易感人群对抗生素的依赖程度与细菌的耐药基因遗传速度一致时，其波动将最终始终与均衡点保持一定的距离，就构成了一个封闭型的蛛网，如图3所示。

图1

图2

图3

3 抗生素危机发展趋势的预测.

3.1 Logistic回归模型构建与预测

表示利益链使用抗生素状况，优先选择DDDS,即抗生素年消耗量，而直接观测DDDS显然不切实际，因此用耐药率表示耐药菌种数目，λ表示总菌种数，即DDDS）定量变化表征感染强度，感染轻度恰恰是在理想市场下的首要风险。该模型得到量化，在环境制约下，耐药率ψ基本近似人口阻滞增长模型，构建Logistic模型：

设x（t）为t日的初始菌种数，（rx）为x的线性函数，r(x)=r-sx.

再设自然资源与社会制约之下，耐药菌最大增加限度为xm

即当x=xm时，增长率r(xm)=0，得到：

构建Logistic回归模型：

联立，解得：

3.2 模型求解

引入线性最小二乘估计法估算模型的参数r与xm，将Logistic方程转化为：

向后差分，得到差分方程如下：

根据此方程，即可求解参数。

3.3 模型进一步推广与修正

3.3.1 Malthus模型在分析耐药菌菌种数变化中的应用基本假设：

（1）设x（t）表示t日的菌种数目，x（t）连续可微。

（2）假设耐药菌平均增长，即r为常量。

其解为：

根据表格：

年份耐药菌数目2011 89124 2015 18431 2012 97926 2013 12368 2014 17896

该模型确实有可取之处，短期内拟合的效果好，但长期来看，预测耐药菌菌种数量的变化不准确，原因在于对增长率r因子估计过高，需要修正r因子。

3.3.2 修正r因子优化模型

考虑到r因子是常数时，拟合不好，因此，将r修正为a-bx,即加入竞争项-bx2（规定b＞0）,建立方程如下：

4 便携式管理抗生素的效用

为有效遏制过度使用抗生素药物，卫生部对抗生素药物开展专项整治。

4.1 对抗生素使用量与耐药菌株关系的讨论

采用1996-2010年的数据对抗生素的使用量与耐药菌株数进行OLS估计，得到OLS估计方程：

Y=-1690.29269633+0.421125021335*X

运用EVIEWS软件可得DW统计量为0.562497，即抗生素的使用量与耐药菌株数具有显著的正相关性。

4.2 政策性建议

对企业来说，当它生产均衡产量q时获得的利润大于生产过多产量q’的利润时，它才会选择以q产量进行生产，否则它只会以q’产量生产；一般情况下，均衡产量获得的利润比较小，政府为了鼓励厂商生产均衡就需要给予厂商一定的补贴t。

激励相容约束：

参与约束：

由此可知，合理使用抗生素是解决耐药问题的根本途径。

[1]俞慎，王敏，洪有为.环境介质中的抗生素及其微生物生态效应[J].生态学报.2011.

[2]王冉，刘铁铮，王恬.抗生素在环境中的转归及其生态毒性.生态学报，2006,26（1）：265-270.

[3]章明奎,王丽平,郑顺安.两种外源抗生素在农业土壤中的吸附与迁移特性.生态学报,2008,28（2）：761-766.

[4]鲍艳宇,周启星，万莹,谢秀杰.土壤有机质对土霉素在土壤中吸附-解吸的影响.中国环境科学,2009,29（6）：651-655.