巧设问题链，助力学生拾级而上

张栋梁

[摘 要] 高中数学教学中，教师通常以问题链的形式来引导学生循序渐进、构建认知. 本文联系教学实际，探讨了高中数学问题链的设计原则和策略.

[关键词] 高中数学；问题链；设计原则；设计策略

问题是数学研究与发展的中心，在高中数学教学中，问题同样是助力学生的能力不断提升的台阶. 教师在课堂通过问题来启发学生的思维，调动他们的求知欲，进而促成他们解决问题能力的提升. 当前教学中，我们通常以问题链的形式来引导学生循序渐进、构建认知，那么如何更加有效地设计问题链呢？笔者对此谈几点个人的认识.

[?] 高中数学问题链的设计原则

高中数学问题链的设计原则就是教师在设计问题链时所要遵循的基本要求和准则.

1. 最近发展区原则

教师设计问题链要充分结合学生最近发展区的特点，让学生在“跳一跳”的过程中“摘到桃子”. 要做到这一点，就要求教师充分了解学生的认知水平和现有能力，知道学生的学习难点所在，从而以问题链的形式予以重点引导，帮助学生打开思维.

例如，引导学生认识“函数的概念”，其实这对高一的学生而言并不是一个陌生的知识点，他们在初中已经有过很好的认识. 教师就可以通过问题链引导学生回顾初中已学的一次函数、二次函数、反比例函数等特点，由此切入，进而帮助学生从中体会数集与数集的对应关系，用高中的知识框架重新来解读函数的概念.

2. 循序渐进的原则

学生探索数学问题、发展数学能力本身就是一个由浅入深、循序渐进的过程，而问题链教学法的根本目的就是要通过环环相扣、层层推进的问题来引导学生按照科学的规律来建构数学认知. 所以教师在设计问题链时，务必要结合学生的认知规律，注意问题的难度、梯度和呈现次序，由此让学生在问题处理的过程中，也能积极体会数学学习的一般规律.

例如，和学生讲解一些高难度问题时，教师要善于对问题进行分解，将一个较难的问题分解为若干个难度中等而又逐步深入的问题，由此降低问题解决的难度，引导学生突破难点，实现问题的解决.

[?] 高中数学问题链的设计策略

相比于原则，策略更像是一种方法性的指南，好的策略能指引我们设计出好的实用性问题链. 结合基本原则，联系教学实际，笔者认为高中数学问题链的设计策略有以下几点.

1. 结合学生的探究需要设计问题链

学生内心深处都存在这样的需求——希望自己成为一名发现者、研究者和探究者. 而教师就可以通过问题设计来激起学生的这种欲望，启发学生进行思考，将理解知识和建构知识的任务交由学生来完成，教师则积极适应角色转换，以引导者的身份出现在课堂上.

例如，“二元一次不等式表示平面区域”这节课的教学，我们可以设置如下情境：班级准备筹备联欢晚会，选择既美观又经济，单价分别是2元和1元的大、小彩球布置会场，计划用少于100元的钱购买，从会场的大小来看，大球数不少于10个，小球数不少于20个，请你结合上述各项要求设计出可行的购买方案.

根据这样的情境，学生设元（设大球数为x，小球数为y），列式如下：

2x+y<100?2x+y-100<0，

x≥10，

x≥10

x≥20，

x∈N+，

y∈N+.

思考后可以求出若干组不同的解，如x=10，

y=20，x=20，

y=30，x=30，

y=30，x=32，

y=28……这些解都满足2x+y-100<0.

由此出发介绍二元一次不等式和二元一次不等式组，新的问题随之而来，并成为课堂的生长点.

问题1：如何解二元一次不等式和二元一次不等式组？

问题2：二元一次不等式的解集表示什么区域？如2x+y-100<0，前面得到的解作为直角坐标系中点的坐标的话，这些点分布在怎样的区域？

问题3：直线2x+y-100=0右上方及左下方的平面区域分别如何表示？

这些问题是学生在对情境的分析过程中自然呈现出来的，而且问题与问题之间存在着有效链接新旧知识的枢纽作用（如问题2和问题3），这样的问题链从课堂的一开始就给学生创设了一个较佳的学习认知环境.

2. 结合学生的认知基础设计问题链

建构主义认为，认知的建构过程在于学生通过新旧经验之间双向的、反复的作用，从而建立并完善自己的经验结构. 高中数学的许多概念之间有着体系化的联系，教师如果能由新旧知识的连接点切入，设计问题链，引导学生立足于已有认知基础，同时有效激活旧知识的延伸活力，使其成为新知识成长的根基，进而在问题链的引导下逐步掌握新的知识和方法.

例如，在“数列”一课，当学生已经明确数列的定义之后，教师可以设计以下问题链：

问题1：函数和数列有什么关系？

问题2：函数和数列有什么差别？

问题3：已知某个数列{an}的通项公式为an=-n2+7n+8，请判断15是否是该数列的项.

问题4：已知某个数列{an}的通项公式为an=-n2+7n+8，试求该数列的最大项.

在系统化学习数列之前，学生对函数已经有了较为扎实的基础，教师由此出发，将其作为数列认知的生长点，让学生体会到数列也是一类特殊的函数，由此积极地以函数的视角来研究数列，用处理函数问题的方法来处理数列的问题.

3. 结合数学实验来设计问题链

为了有效激活学生的独立思维和创新意识，教师要能在数学课堂上灵活运用各类教学手段，培养学生的信息收集和处理能力，进而建构新的认知，掌握新的方法. 传统的数学课堂上，我们过分侧重于教师的讲和学生的听，这样的模式无法充分带动学生的思考，学生始终处于被动听讲的地位. 结合数学实验设计问题链进行教学能彻底变革上述教学模式，所谓“数学实验”就是利用各类数学软件，如几何画板、图形计算器等，让学生自己动手操作，并在此过程中观察、推理、分析和证明，从而解决数学问题，实现数学认知. 教师要积极创造条件，让学生能充分地投入到实践操作中，让学生的被动学习转变为主动学习.

例如，关于“幂函数”的教学，传统的教学方式是让学生用“描点法”绘出图像，然后直接提供幂函数的概念和表达式，一切都有一种强加于人的感觉，学生也会产生很多模糊的认识，比如为什么一定要对指数的不同取值情形进行讨论，他们的学习过程非常被动. 但是如果让学生自己选择指数的不同取值，通过几何画板画出图像，学生将对幂函数产生更加直观的认识，然后教师在引导学生运用几何画板在同一个坐标系中画出不同指数的函数图像；同时再提供阶梯性的问题链，由此学生在问题的引领下，深入观察和对比函数图像的有关特点，进而实现“数”与“形”的完美统一，让学生充分经历“观察→猜想→论证”的过程，让他们由感性认知过渡到形象化思维，再提升到抽象思维.

4. 借助習题的变式设计问题链

变式教学是教师在组织学生解决数学问题时，变更有关概念中的非本质特点，或是变更问题的条件和结论，或是变更问题的内容和形式，抑或是变更问题的情境，使得学生在问题处理中能达到举一反三、触类旁通的效果. 变式也是我们进行问题链组织的有效手段，从不同的角度、以不同的方式来设计问题，能培养学生灵活善变的思维能力，同时也能促使学生自发地对比情境和概念，深化数学知识的理解.

例如，在学习等差数列和等比数列的通项公式之后，教师可以通过问题变式来设计以下问题链：

问题1：已知a=1，an+1=2an（n∈N*），试求数列{an}的通项公式；

问题2：已知a1=1，an+1=2an+1（n∈N*），试求数列{an}的通项公式；

问题3：已知a1=1，an+1=2an+n（n∈N*），试求数列{an}的通项公式；

问题4：已知a1=1，an+1=2an+kn+b（k，b为常数，n∈N*），试求数列{an}的通项公式；

问题5：已知a1=1，an+1=2an+2n+1（n∈N*），试求数列{an}的通项公式.

通过问题的变式可以让原本孤立而具体的问题显得比较抽象，由此能强化学生的抽象思维能力，并且通过处理这些似是而非的问题，学生也将在变和没变的过程中感悟数学思维的灵动.