基于仿射变换下对椭圆的探讨

贾慧美

[摘 要] 椭圆是高中数学的重要内容，它通常会以压轴题的形式呈现在各种考试中. 由于学生的运算能力以及对解析几何方法的深层次认识有待进一步的提高，所以圆锥曲线方面题失分率很高. 圆作为一个基本的几何图形， 与圆有关的定理举不胜举，但对于椭圆则不然.通过仿射变换可以实现椭圆到圆的变换，从而利用研究圆的方法来研究椭圆，从而大大降低难度.

[关键词] 椭圆；圆；仿射变换

由仿射变换可知，椭圆通过适当的仿射变换可变成圆，从而大大降低研究难度. 因此，和椭圆相关的解析几何问题可以先转化为和圆相关的问题来研究，然后再回到椭圆中解决. 有关椭圆的问题在高考中也是一个重点、热点，很多有关椭圆的问题，只能通过解析几何的方法来解决，这就给我们解题带来了不少麻烦. 因此，我们自然期望有一种方法，使得处理有关椭圆的问题和处理有关圆问题一样容易，而由仿射变换性质可知，椭圆通过适当的仿射变换可变成圆，从而大大降低研究难度. 因此，和椭圆相关的解析几何问题可以先转化为和圆相关的问题来研究，然后再回到椭圆中解决.在利用仿射变换时主要利用以下定理：

定理1：两条平行直线经仿射变换后仍变为两条平行直线.

推论1：两条相交直线经仿射变换后仍变成两相交直线.

推论2：共点的直线经仿射变换后仍变为共点直线.

定理2：两条平行线段之比是仿射不变量.

推论：一直线上两线段之比是仿射不变量.

定理3：两封闭图形（如三角形、平行四边形、椭圆等）面积之比是仿射不变量.

下面我们以一些实例加以说明.

例1：证明：椭圆的外切三角形A′B′C′的顶点与对边上的切点连线交于一点.

分析：此题是关于线共点的问题，由于椭圆的一般性以及三角形的一般性，如果用初等几何方法来解决比较难入手，但是可以用仿射变换的方法进行转化，由于仿射变换保持同素性、结合性，所以将椭圆变成圆以后点与线的结合性以及相切等都不发生改变.

证明：易证在一个正三角形ABC中，其内切圆在对边上的切点与顶点连线交于一点K，可以用仿射变换方法. 因对于△ABC与△A′B′C′存在唯一的一个仿射变换Ψ，使A→A′，B→B′，C→C′（如图1）.

由于仿射变换保持结合性不变，△ABC的内切圆与各边切点分别为A1，B1，C1. 由于仿射变换是一一变换，切点仍应变为切点. 所以A1→A′1，B1→B′1，C1→C′1，K→K′. 所以由AA1，BB1，CC1共点K，可知A′1A′，B′1B′，C′1C′共点K′.

例2：求椭圆+=1的面积.

分析：椭圆是一个二次曲线，用初等几何和微积分的知识进行推导比较烦琐. 考虑到圆经过仿射变换对应一个椭圆，所以椭圆也可以通过一个适当的仿射变换对应成一个圆. 再利用定理3即可.

解：在直角坐标系下，椭圆+=1，

经过仿射变换

x′=x，

y′=y，Δ=1 0

0

=≠0.

于是，椭圆的对应图形为圆x′2+y′2=a2.

如图2，椭圆内的△OAB：O（0，0），A（a，0），B（0，b），经过以上的仿射变换，△OAB的对应图形△OA′B′，其中A与A′重合，B′（ 0，a），由于两个封闭图形的面积之比为仿射不变量，

所以=，

x′2+y′2=a2.

BC经过变换后为圆的直径B′C′，A变为圆上的一点A′，

由圆的性质可知，kA′B′·kA′C′=-1，所以=·，

即kAB·kAC=-.

若焦点在y轴上时证明类似（略）.

例4：已知椭圆方程为+=1，过长轴定点A（-4，0）的两条直线斜率乘积为-，交椭圆于B，C两点，问是否存在所有直线BC一定过定点D，若存在，请求出D的坐标；若不存在，请说明理由.

解：易知a=4，b=3，作仿射变换

x′=x，

y′=y，Δ=1 0

0

=，如图5

所以=·.

又因为kAB·kAC=-，

所以kA′B′·kA′C′=-1，

即A′B′⊥A′C′，所以B′C′恒过原点O′.

所以在椭圆中BC恒过原点O，即D（0，0）.

证法1：（初等几何方法）

设弦AB的直线方程为y=kx+m，点A（x1，kx1+m），B（x2，kx2+m），C（x3，y3）.

则有

x3=，y3==+m.

故所求直径方程为

y=x=

k+

x.

将椭圆方程与弦方程联立方程组，可求得x1+x2=. 代入上述直径方程得b2x+a2ky=0.

证法2：（仿射变换方法）

设弦AB的直线方程为y=kx+m，則经仿射变换有

x′=x，

y′=y，即

x=x′，

y=y′.

将椭圆方程变为x′2+y′2=b2，将弦方程变为y′=kx′+m. 而弦的共轭直径在圆中是与此弦垂直的，其方程显然是y′= -x′，此方程经上述仿射变换还原到椭圆中去即为所给弦的共轭直径方程y= -·x，即b2x+a2ky=0.

例6：（2007年宁夏、海南高考理科第19题）在平面直角坐标系xOy中，经过点（0，）且斜率为k的直线与椭圆+y2=1有两个不同的交点P和Q.

（1）求k的取值范围；

（2）设椭圆与x轴的正半轴、y轴的正半轴的交点分别为A，B，是否存在常数k使得向量+与共线？如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由.

分析：利用仿射变换将椭圆变换为圆后，可利用圆心到直线的距离与半径的关系来刻画直线与圆的位置关系，从而间接地刻画了直线与椭圆的位置关系，这样处理极大地降低了计算量. 在第二问中，若记+=，根据向量加法的意义可知PQ，OC相互平分，根据仿射变换的同素性知P′Q′，O′C′也互相平分，又因为O′C′过圆心，那么在圆中有P′Q′⊥O′C′，这样有助于将问题简单化.

解：（1）作仿射变换，令x′=

，

y′=y，则得到仿射坐标系x′O′y′，在此坐标系中，将上述椭圆变换为圆x′2+y′2=1，直线l：y=kx+变换为l′：y′=kx′+，

即kx′-y′+=0.

若直线l′与圆x′2+y′2=1的交点有两个，则<1，即k2>，

所以k>或k<-.

（2）已知椭圆与x轴的正半轴、y轴的正半轴的交点分别为A（，0），B（0，1），经仿射变换后变为A′（1，0），B′（0，1），P，Q分别变为P′，Q′，则P′，Q′必在圆上，记直线A′B′的斜率为k1，则k1=-1，直线P′Q′的斜率为k.

若+与共线，则必有+与共线.

设+=，则必有⊥.

当∥时，⊥，此时有k=-=1?k=.

由（1）知k>或k<-，所以没有符合题意的常数k.

点评：相对参考答案本题利用仿射变换后结合圆的性质，几乎没有代数运算就得到了结论，极大地降低了运算量，节省了宝贵的时间.

变换思想是一类主要的数学思想.应用变换的方法去解题可使问题得到简化，从而在解题中取得较好的效果. 仿射变换就是几何变换中的一类重要变换. 从上述讨论中可以得出应用仿射变换解题的步骤可概括如下：①判断求解的问题是否能利用仿射不变性质，仿射不变量求解，一般涉及点共直线、直线共点、线段比、面积比等一类问题皆可应用仿射变换解题；②选择合适的仿射变换，找出所给图形的合适的仿射图形；③在仿射图形中求证，写出具体的仿射变换及解题过程.