系泊系统平衡分析及对全国数模大赛题问题一解答

蒋春松

摘 要：对系泊系统做受力分析，利用平面任意力系平衡条件，建立一矩式平衡方程，并用Matlab仿真得到不同风速下的系泊系统。通过该问题的求解来引导学生将力学理论联系实际，激发学生力学学习兴趣，以达到提升创新思维和创新能力的培养目标。

关键词：系泊系统；受力分析；平衡条件；Matlab仿真；创新能力

中图分类号：O312 文献标志码：A 文章编号：2096-000X（2017）10-0189-03

Abstract： By making analysis of force of mooring system and using the equilibrium condition of the arbitrary force system， the equilibrium equation is established； and the mooring system of different wind speeds is obtained by using Matlab simulation. Through the solution to the problem， it can guide students who study mechanics theory with practice and increase the interests of studying mechanics， which can effectively achieve the training target of improving the innovative thinking and innovation ability.

Keywords： mooring system； force analysis； equilibrium condition； Matlab simulation； innovation ability

引言

刚体上的力有两种作用效果，若力的作用线通过质心，则力将使物体沿力的方向发生平移；若力的作用线不通过物体质心，则力将使物体既发生平移又发生转动。平面任意力系平衡的必要与充分条件是力系的主矢和对任意一点的主矩同时等于零[1]。学生在遇到平衡问题受力分析时，常常只分析到力系在直角坐标系各坐标轴上的投影代数和为零，而忽视了对物体转动效果的力矩，导致分析遇挫，时常有好学的学生问到这个问题。而2016年全国大学生数学建模竞赛A题系泊系统的设计，实质上也属于该类问题。基于此，对系泊系统采用平面任意力系平衡条件来求解，并用Matlab得到仿真动画[2]，可为相关教师提供有效参考。

系泊系统题目如下[3]：近浅海观测网的传输节点由浮标系统、系泊系统和水声通讯系统组成（如图1所示）。该浮标系统可简化为圆柱体。系泊系统由钢管、钢桶、重物球、电焊锚链和特制的抗拖移锚组成。要求锚链末端与锚的链接处的切线方向与海床的夹角不超过16度，否则锚会被拖行。水声通讯系统安装在该密封圆柱形钢桶内。钢桶上接第4节钢管，下接电焊锚链。钢桶竖直时，水声通讯设备的工作效果最佳。若钢桶倾斜，则影响设备的工作效果。钢桶的倾斜角度（钢桶与竖直线的夹角）超过5度时，设备的工作效果较差。为了控制钢桶的倾斜角度，钢桶与电焊锚链链接处可悬挂重物球。分析不同风速下钢桶和各节钢管的倾斜角度、锚链形状、浮标的吃水深度和游动区域。

一、隔离体受力分析及平衡条件

当力系的主矢和对任意一点的主矩同时等于零时，物体处于平衡状态。其一矩式平衡方程为

（1）

对圆柱体浮标做受力分析见图2（a），不考虑其倾斜，由式（1）得

（2）

其中T1，x和T1，y为第一根钢管对浮标作用分力，G浮为浮标重力，F风和F浮为浮标受到的风力和浮力，其值是浮标吃水深度h0的显函数。

对钢管做受力分析见图2（b），利用式（1）并对A取距得

（3）

其中Ti，x和Ti，x以及Ti，y和Ti，y分別为作用力与反作用力，F管和G管为钢管浮力和重力，θi表示第i根钢管的倾斜角，i取1、2、3和4。

对钢桶做受力分析见图2（c），利用式（1）并对C取距得

（4）

其中θ5表示钢桶的倾斜角，F管和G管为钢管的浮力和重力，G球为重物球重力。

对从上往下依次取每节链环做受力分析见图2（d），利用式（1）并对E取距得

（5）

这里，G环为链环的重力，θi表示第（i-5）节链环的倾斜角，i从6开始取。

另外，为了得到更准确结果，重物球和链环的重力可取有效重力，即

G有效=G（1-ρ海水/ρ铁） （6）

二、解答2016年大学生数学建模赛题问题一

浮标吃水深度h0迭代求解过程如下：

1.假设一较小浮标吃水深度h0（大于无风时的吃水深度）；

2.由式（2）～（5），可得到钢管、钢桶及第（i-5）节链环的倾斜角及坐标；

3.判断第（i-5）节链环左下端纵坐标不超过水深18m，并且链接处切线方向与海床的夹角不超过16度，满足则进入下一步，否则计算结束；

4.返回第1步，增大h0，进入下一循环。

按上述过程采用Matlab编程可以得到不同风速下浮标吃水深度、各物体倾斜角度、锚链形状和游动区域。风速6m/s、12m/s、24m/s和30m/s时迭代计算得到相关结果见表1，对应仿真结果见图3。

三、结束语

本文对浮标、钢管、钢桶、链环等依次做受力分析，根据平面任意力系的平衡条件，得到隔离体的约束力和倾斜角表达式，并根据链环触底的条件建立收敛判据，用Matlab编程仿真得到不同风速下的系泊系统。另外如果进一步考虑圆柱体浮标倾斜以及海水流速，可以更准确仿真该系统。

通过该工程实例，激发学生力学学习兴趣，让学生们深刻理解力学知识如何来解决实际问题，如何灵活运用综合知识来正确分析问题和解决问题，以达到提升创新思维和创新能力的培养目标。

参考文献

[1]范钦珊，唐静静.工程力学（静力学和材料力学）第2版[M].北京：高等教育出版社，2007.

[2]马少鹏，聂建新，马沁巍.力学专业程序实践——用MATLAB解决力学问题的方法与实例[M].北京：北京理工大学出版社，2013.

[3]2016年高教社杯全国大学生数学建模竞赛赛题[EB/OL].http：//www.mcm.edu.cn/html_cn/node/6d026d84bd785435f92e3079b4a87a2b.html，2016-09-12.