一类排列组合的解题技巧分析

◎马瑜优

(湖南省长沙市第一中学高二16班，湖南 长沙 410005)

一类排列组合的解题技巧分析

◎马瑜优

(湖南省长沙市第一中学高二16班，湖南 长沙 410005)

排列组合是高中数学教材中非常重要的一个模块，而由于具有较强的抽象性成为我们学习过程中的难点问题.同时，由于教师在讲解一些相对复杂的排列组合题目时所使用的语言不够精练，而我们自身的认知能力和思维水平有限，则常常处于“云里雾里”的状态.我们为了能够更加深入地学习排列组合这部分知识，并灵活应用，便需要掌握正确的排列组合解题技巧.因此，深入探究一类排列组合问题的解题技巧具有非常重要的现实意义.本文具体分析一类排列组合问题的解题技巧，有利于全面提高自身的数学水平.

排列组合；解题技巧；分析

在我们学习排列组合的过程中，之所以无法深入理解，主要是因为排列组合这个模块的问题具有较强的抽象性，所以我们在解决排列组合问题的时候可尽量转换一下原题，以便将抽象的问题具体化，真正融入题目中，从而成为解决排列组合问题的决策者.只有这样才能够促使我们更加深入地学习排列组合的知识，充分发挥我们自身的学习主体意识和主动性，真正从解决具体问题的过程中得到启发，更加全面准确地掌握排列组合的解题规律，达到以不变应万变的程度[1].当然，我们在具体问题的解答过程中，应该注意题目转换的等价性和可操作性，掌握正确的解题技巧.

一、捆绑解题技巧

我们在解答排列组合问题的过程中，常常会遇到一些题目需要将几个元素灵活地排列在一起的情况.针对这种题目，我们便可以采用捆绑的方法进行解决.

例如，在初中学校组织学生进行节目表演的队伍排列中共有6名男生和5名女生，要求将所有的学生排成一列.但是，需要将5名女生排列在一起，总共有多少种排列方法呢？

二、采用特殊元素和特殊位置优先技巧

我们常常在进行排列组合问题的解答过程中，会遇到特殊位置和特殊元素的情况，针对这种问题便可以采取优先解决这些特殊元素的问题.这样便能够让这种特殊元素的问题简单明了，从而更好地解决这种类型的问题.

例如，一道题中要求将0，1，3，4，5几个数字组合成为没有重复数字的奇数.

根据这道题干的题意，我们便可以看出首位应该不能为0，而末位数字又必须是奇数，所以我们在进行排列的过程中应该优先安排首末位置的数字；然后，再合理地安排其他位置的数字.这样根据我们所学的知识内容和分布计数原理便可以得出总共有288个无重复的五位数奇数[2].

三、重排问题求幂技巧

允许重复的情况也是我们解决排列组合问题中常常会遇到的一种情况.针对这种题目，我们在解答的过程中可以将各个元素作为主要的研究对象，且不受到任何条件的约束，便可以直接将其排在多个不同的位置上.这样在解答过程中有n个不同的元素便可以无任何限制条件地排在m个位置之上，通过计算得出总共有mn种排列方式[3].

例如，如果将6名音乐特长生直接安排到7个地方去学习，试问总共有多少种安排方法？

根据重排问题求幂技巧的要求，我们在解答上述题目的过程中则可以直接分为6个步骤进行.第一名学生在安排的过程中共有7种方法；第二名学生在安排的过程中也有7种方法，依次安排，并根据分步计数原理便可以直接得出共有76种安排方法.

四、排除技巧

在解答排列组合问题的过程中，排除法是最直接和最有效的一种解题技巧.我们常常会遇到一些看起非常复杂的题目，便可以直接转换角度进行分析思考，逐个排除，直到各个击破.

例如，在一个盒子中共有1—20个编号的颜色、大小都相同的小球，然后，要求学生从盒子中随机抽取4个小球，且每次基本抽中1—4中的一个，试问共有多少种抽取方法.

五、合理分类和分布技巧

在解答排列组合问题的过程中，针对一些有约束条件的问题，便可以根据元素的性质进行合理分类，或者根据一些事件所发生的顺序过程进行分步解答.但是，在解答问题的过程中，一旦确定采用分类标准时，便需要将这种方法直接贯穿于整个题目的解答过程中[5].

例如，在一个学校开展联欢晚会的过程中，总共有10名学生报名参加.在这10名学生中，有8名学生只会唱歌，有5名学生会跳舞，而在编排节目的过程中需要选出2个跳舞、2人唱歌的节目，试问共有多少种选择方法.

(一)捆绑法

捆绑法主要是应用于一些几个需要排列在一起的元素组合过程中，也就是将一些必须紧挨着的元素直接合并成为一个新的元素，再将其与其他元素进行重新排列组合.但是，在应用捆绑法的过程中应该注意将合并的几个元素进行内部排列[7].

例如，有6名男队员和3名女队员想要组合成为一队，但是明确要求将女队员必须排列在一起，试问总共有多少种排列方法呢？

(二)插空法

在解决很多不能够作为相邻元素的排列组合问题过程中，则可以采用插空法进行解决.首先，将一些不受任何限制条件的元素进行排列组合；然后，再将受条件限制的元素进行排列组合；最后，直接将一些受条件限制的元素直接插入排列好的不受限制条件的元素中[8].

例如，在一所学校组织集体去电影院看电影的过程中，有学生10人，老师6人.但是，在看电影的第一排共有16个座位，而要求这10名学生和6名老师必须坐在第一排，且老师和学生在坐的过程中不能够让老师相邻，试问总共有多少种排列方法呢？

再例如，在一栋楼的楼梯总共有10级台阶，且规定在每步走的过程中应该走1级或者2级，要求8步走完，这样试问总共有多少种走法？

(三)插板法

针对一些非常抽象且难以解决的排列组合问题，我们便可以转化自己常规的思考方法，使复杂问题简单化.

例如，在一所学校的初二年级中，共有7个班级，而学校组织召开一个11人的讨论会，并明确规定每个班级必须要求去1人，这样试问总共有多少种安排方法呢？

(四)对等法

上述阐述的关于排列组合问题的解题技巧，并不是孤立存在的，而是相互联系、相互作用的，所以，我们在遇到一些存在难度问题的题目时，可以尽量使用多种解题方法进行解答.

六、结 论

总而言之，我们在高中数学的学习过程中，排列组合的问题并不是很难，主要是看我们是否打开了解题的思维.因此，我们需要根据不同的题目特点，采取不同的解题方法[9].通常来讲，每一种题型都有突破口，只需要抓住突破口，再灵活运用解题方法，便可以整理出解题思路，提高我们的数学水平.

[1]赵家林.排列组合在数学解题中的技巧探讨[J].数学学习与研究，2014(03)：60-61.

[2]杨超.排列组合在高考中的常见题型及解题技巧[J].科技信息，2013(08)：369-370.

[3]尹爱国.高中数学排列组合解题技巧探究[J].高中数理化，2015(08)：3-4.

[4]闫西安.关于排列组合解题技巧的研究[J].数理化学习(高中版)，2015(04)：52.

[5]郭卫刚.谈排列组合应用题的解题技巧[J].语数外学习(高考数学)，2012(03)：27.

[6]谢桂兰.高中数学排列组合解题技巧[J].语数外学习(数学教育)，2013(02)：55.

[7]江赛玭.浅谈排列组合应用题的解题技巧[J].读与写(教育教学刊)，2014(04)：56.

[8]郭荣琛.刍议高中数学排列组合解题技巧[J].中学生数理化(学习研究)，2016(10)：58.

[9]周玉梅.排列组合问题的解题技巧与策略[J].考试周刊，2016(81)：65.