复数运算的重点题型

■陕西省西安市高新区第三中学 吕二动 姬亚鹏

复数运算的重点题型

■陕西省西安市高新区第三中学 吕二动 姬亚鹏

复数是中学数学中重要的基础知识,涉及知识面广,对综合能力要求较高,基础性题目多是关于复数的概念,复数相等及复数代数形式等;综合性题目主要考查同学们的运算能力,及运用复数知识分析解决问题的能力。

题型1：考查复数定义

①复数z是实数的充要条件是:

故当m=-2时,复数z为实数。

②复数z是虚数的充要条件是:

故当m≠-3且m≠-2时,复数z为虚数。

③复数z是纯虚数的充要条件是:

故当m=1时,复数z为纯虚数。

点评:要注意m的取值范围是m≠-3,它是考虑复数z是实数、虚数和纯虚数的必要条件。特别注意复数z=a+bi(a,b∈R)为纯虚数的充要条件是a=0且b≠0。

题型2：考查in(n∈N+)的周期性

计算:1+2i+3i2+…+

1000i999。

解：设S=1+2i+3i2+…+1000i999,则iS=i+2i2+3i3+…+999i999+1000i1000。

(1-i)S=1+i+i2+…+i999-

点评:i是虚数单位,并规定i2=-1。由此我们可以发现i的一些有趣的结论:

(1)i4n=1,i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3= -i(n∈N+);(2)i-1=-i;(3)(1±i)2=±2i,

题型3：考查±1的立方根

若1+x+x2=0,则1+x+x2+…+x100=____。

解：因为(1+x+x2)(x-1)=x3-1=0(x≠1),所以可令

则原式=1+ω+ω2+…+ω100=(1+ω+ω2)+(ω3+ω4+ω5)+…+(ω96+ω97+ω98)+ω99+ω100=1+

点评:ω是1的一个立方根。在复数的范围内,1的立方根是:1通常我们令,有关它的常见的结论有若把其中的ω换成ω,结论仍然成立,即(ω)3

(责任编辑 徐利杰)